معطيات المسألة وأساسيات المستقيم المدرج
تذكير: المستقيم المدرج
في المستقيم المدرج، كل نقطة لها فاصلة (إحداثي)
النقطة O لها فاصلة 0
النقطة I لها فاصلة 1
المسافة بين O و I تمثل وحدة واحدة = 3 cm
السؤال 1: تعيين النقاط A، B، C
$$x_A = -\frac{4}{3} \approx -1.33$$
$$x_B = \frac{7}{3} \approx 2.33$$
$$x_C = \frac{9}{2} = 4.5$$
مواقع النقاط على المستقيم:
←← A ←← O ←← I ←← B ←← C →→
A تقع على يسار O، B بين I و C، C أبعد نقطة على اليمين
كيفية تعيين النقاط
• النقطة A: تقع على يسار O بمسافة $$\frac{4}{3}$$ وحدة
• النقطة B: تقع على يمين O بمسافة $$\frac{7}{3} \approx 2.33$$ وحدة
• النقطة C: تقع على يمين O بمسافة $$\frac{9}{2} = 4.5$$ وحدة
السؤال 2أ: حساب AB و AC
حساب AB
$$AB = |x_B - x_A| = |\frac{7}{3} - (-\frac{4}{3})| = |\frac{7}{3} + \frac{4}{3}|$$
$$AB = |\frac{11}{3}| = \frac{11}{3}$$
المسافة الفعلية: $$AB = \frac{11}{3} \times 3 = 11 \text{ cm}$$
حساب AC
$$AC = |x_C - x_A| = |\frac{9}{2} - (-\frac{4}{3})|$$
توحيد المقامات
$$\frac{9}{2} = \frac{27}{6}$$ و $$\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$$
$$AC = |\frac{27}{6} + \frac{8}{6}| = |\frac{35}{6}| = \frac{35}{6}$$
المسافة الفعلية: $$AC = \frac{35}{6} \times 3 = \frac{35}{2} = 17.5 \text{ cm}$$
السؤال 2ب: حساب BC
حساب BC
$$BC = |x_C - x_B| = |\frac{9}{2} - \frac{7}{3}|$$
نوحد المقامات: المقام المشترك هو 6
$$\frac{9}{2} = \frac{27}{6}$$ و $$\frac{7}{3} = \frac{14}{6}$$
$$BC = |\frac{27}{6} - \frac{14}{6}| = |\frac{13}{6}| = \frac{13}{6}$$
المسافة الفعلية: $$BC = \frac{13}{6} \times 3 = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ cm}$$
التحقق من النتائج
يمكن التحقق من صحة النتائج:
$$AB + BC = \frac{11}{3} + \frac{13}{6} = \frac{22}{6} + \frac{13}{6} = \frac{35}{6} = AC$$ ✅
هذا يؤكد أن النقاط مرتبة: A, B, C
السؤال 3: إيجاد فاصلة النقطة M
المطلوب: $$BM = 3$$ و $$x_M > 0$$
تحليل المسألة
$$BM = |x_M - x_B| = |x_M - \frac{7}{3}| = 3$$
هذا يعني أن المسافة على المستقيم بين M و B تساوي 3 وحدات
حل معادلة القيمة المطلقة
$$|x_M - \frac{7}{3}| = 3$$ يعني:
$$x_M - \frac{7}{3} = 3$$ أو $$x_M - \frac{7}{3} = -3$$
الحالة الأولى
$$x_M - \frac{7}{3} = 3$$
$$x_M = 3 + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{16}{3}$$
بما أن $$\frac{16}{3} > 0$$، فهذا الحل يحقق الشرط $$x_M > 0$$ ✅
الحالة الثانية
$$x_M - \frac{7}{3} = -3$$
$$x_M = -3 + \frac{7}{3} = \frac{-9}{3} + \frac{7}{3} = -\frac{2}{3}$$
بما أن $$-\frac{2}{3} < 0$$، فهذا الحل لا يحقق الشرط $$x_M > 0$$ ❌
فاصلة النقطة M هي: $$x_M = \frac{16}{3}$$
التحقق من الحل
$$BM = |\frac{16}{3} - \frac{7}{3}| = |\frac{9}{3}| = 3$$ ✅
المسافة الفعلية: $$3 \times 3 = 9 \text{ cm}$$
النقطة M تقع على يمين B بمسافة 9 cm
ملخص جميع النتائج
الترتيب النهائي للنقاط:
A($$-\frac{4}{3}$$) ← O(0) ← I(1) ← B($$\frac{7}{3}$$) ← C($$\frac{9}{2}$$) ← M($$\frac{16}{3}$$)
نصائح مهمة للامتحان
• تذكر أن المسافة = القيمة المطلقة لفرق الفاصلتين
• انتبه للشروط المعطاة (مثل $$x_M > 0$$)
• تحقق من حلولك بالتعويض
• ارسم مخططاً بسيطاً لفهم مواقع النقاط