حساب E
العبارة الأصلية:
$$E = \frac{2}{3} - (a - \frac{1}{2}) - (-b + \frac{1}{3})$$
الخطوة 1: إزالة الأقواس
$$E = \frac{2}{3} - a + \frac{1}{2} - (-b) - \frac{1}{3}$$
$$E = \frac{2}{3} - a + \frac{1}{2} + b - \frac{1}{3}$$
تذكير: إزالة الأقواس
$$-(a - \frac{1}{2}) = -a + \frac{1}{2}$$
$$-(-b + \frac{1}{3}) = +b - \frac{1}{3}$$
الخطوة 2: إعادة ترتيب الحدود
$$E = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - a + b$$
$$E = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - (a - b)$$
جمع الكسور
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$
الخطوة 3: التعويض
$$E = \frac{5}{6} - (a - b) = \frac{5}{6} - (-\frac{2}{5})$$
$$E = \frac{5}{6} + \frac{2}{5}$$
توحيد المقامات بين 6 و 5
المقام المشترك هو 30:
$$\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$$
$$\frac{2}{5} = \frac{12}{30}$$
$$E = \frac{25}{30} + \frac{12}{30} = \frac{37}{30}$$
$$E = \frac{37}{30}$$
حساب F
العبارة الأصلية:
$$F = \frac{4}{3} - (-a - \frac{1}{2}) - (b + \frac{1}{3})$$
الخطوة 1: إزالة الأقواس
$$F = \frac{4}{3} - (-a) - (-\frac{1}{2}) - b - \frac{1}{3}$$
$$F = \frac{4}{3} + a + \frac{1}{2} - b - \frac{1}{3}$$
الخطوة 2: إعادة ترتيب الحدود
$$F = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + a - b$$
$$F = 1 + \frac{1}{2} + (a - b)$$
$$F = \frac{3}{2} + (a - b)$$
الخطوة 3: التعويض
$$F = \frac{3}{2} + (-\frac{2}{5}) = \frac{3}{2} - \frac{2}{5}$$
توحيد المقامات بين 2 و 5
المقام المشترك هو 10:
$$\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$$
$$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$$
$$F = \frac{15}{10} - \frac{4}{10} = \frac{11}{10}$$
$$F = \frac{11}{10}$$
مقارنة E و F
النتائج المحصل عليها:
$$E = \frac{37}{30} \quad \text{و} \quad F = \frac{11}{10}$$
توحيد المقامات للمقارنة
نحول F إلى مقام 30:
$$F = \frac{11}{10} = \frac{11 \times 3}{10 \times 3} = \frac{33}{30}$$
المقارنة:
$$E = \frac{37}{30} \quad \text{و} \quad F = \frac{33}{30}$$
قاعدة مقارنة الكسور
إذا كان للكسرين نفس المقام الموجب، فإن الكسر الذي له البسط الأكبر هو الأكبر
بما أن $$37 > 33$$، فإن $$\frac{37}{30} > \frac{33}{30}$$
$$E > F$$
تحقق إضافي
يمكن التحقق بتحويل الكسور إلى أعداد عشرية:
$$E = \frac{37}{30} \approx 1.233$$
$$F = \frac{11}{10} = 1.1$$
وفعلاً $$1.233 > 1.1$$ ✅
ملخص النتائج النهائية
نصيحة مهمة للامتحان
عند مقارنة كسرين، تأكد من توحيد المقامات أولاً
أو استخدم الضرب المتقاطع: $$\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$$ إذا كان $$ad > bc$$
مثلاً: $$\frac{37}{30} \text{ و } \frac{11}{10}$$ ← $$37 \times 10 = 370$$ و $$11 \times 30 = 330$$
بما أن $$370 > 330$$، فإن $$\frac{37}{30} > \frac{11}{10}$$