أولاً: تبسيط العبارة العامة
استراتيجية الحل
سنبسط العبارة أولاً بشكل عام، ثم نعوض القيم المختلفة لـ a
هذا يوفر الوقت ويقلل من احتمالية الأخطاء
الخطوة 1: إزالة الأقواس
$$r = \frac{13}{a} - \frac{1}{a} - 4$$
الخطوة 2: جمع الكسور بنفس المقام
$$r = \frac{13-1}{a} - 4 = \frac{12}{a} - 4$$
قاعدة جمع الكسور بنفس المقام
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$$
$$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$
مثال: $$\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5-2}{7} = \frac{3}{7}$$
العبارة المبسطة: $$r = \frac{12}{a} - 4$$
الحالة أ: a = 3
نعوض $$a = 3$$ في العبارة المبسطة:
$$r = \frac{12}{3} - 4$$
$$\frac{12}{3} = 4$$
$$r = 4 - 4 = 0$$
التحقق بالطريقة المباشرة
$$r = \frac{13}{3} - (\frac{1}{3} + 4)$$
$$= \frac{13}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{12}{3})$$
$$= \frac{13}{3} - \frac{13}{3} = 0$$ ✅
عندما $$a = 3$$: $$r = 0$$
الحالة ب: a = -3
نعوض $$a = -3$$ في العبارة المبسطة:
$$r = \frac{12}{-3} - 4$$
تذكير: القسمة على عدد سالب
$$\frac{12}{-3} = -\frac{12}{3} = -4$$
قاعدة: $$\frac{+}{-} = -$$
التحقق بالطريقة المباشرة
$$r = \frac{13}{-3} - (\frac{1}{-3} + 4)$$
$$= -\frac{13}{3} - (-\frac{1}{3} + 4)$$
$$= -\frac{13}{3} - (-\frac{1}{3} + \frac{12}{3})$$
$$= -\frac{13}{3} - \frac{11}{3} = -\frac{24}{3} = -8$$ ✅
عندما $$a = -3$$: $$r = -8$$
الحالة ج: a = -13
نعوض $$a = -13$$ في العبارة المبسطة:
$$r = \frac{12}{-13} - 4$$
$$r = -\frac{12}{13} - 4$$
تحويل العدد الصحيح إلى كسر
$$4 = \frac{4 \times 13}{13} = \frac{52}{13}$$
$$r = -\frac{12}{13} - \frac{52}{13} = \frac{-12-52}{13} = -\frac{64}{13}$$
انتبه للإشارات!
عند طرح كسر موجب من كسر سالب:
$$-\frac{12}{13} - \frac{52}{13} = -\frac{12}{13} + (-\frac{52}{13}) = -\frac{64}{13}$$
عندما $$a = -13$$: $$r = -\frac{64}{13}$$
ملخص جميع النتائج
ملاحظة مهمة
لاحظ أن النتيجة تختلف حسب قيمة وإشارة a
عندما a موجب والكبير، يكون r أقرب إلى -4
عندما a سالب، تكون النتيجة سالبة دائماً