السؤال 1: إثبات أن A = x - y - 7/4
استراتيجية الحل
سنعمل على تبسيط كل قوس على حدة، بدءاً من الأقواس الداخلية
ثم نجمع الحدود المتشابهة في النهاية
الخطوة 1: تبسيط القوس الثاني
$$x - (-y - \frac{3}{4}) = x + y + \frac{3}{4}$$
لأن: $$-(-y - \frac{3}{4}) = +y + \frac{3}{4}$$
الخطوة 2: تبسيط القوس الثالث
$$-(-x - 0.5) = +x + 0.5 = x + \frac{1}{2}$$
لأن: $$0.5 = \frac{1}{2}$$
الخطوة 3: إعادة كتابة التعبير
$$A = (x - \frac{1}{2}) - (x + y + \frac{3}{4}) - (x + \frac{1}{2}) - 1$$
معالجة الأقواس المعقدة خطوة بخطوة
نوزع الإشارة السالبة على كل قوس:
القوس الأول: $$(x - \frac{1}{2})$$ - يبقى كما هو
القوس الثاني: $$-(x + y + \frac{3}{4}) = -x - y - \frac{3}{4}$$
القوس الثالث: $$-(x + \frac{1}{2}) = -x - \frac{1}{2}$$
الخطوة 4: فتح جميع الأقواس
$$A = x - \frac{1}{2} - x - y - \frac{3}{4} - x - \frac{1}{2} - 1$$
الخطوة 5: جمع الحدود المتشابهة
حدود x: $$x - x - x = -x$$
حدود y: $$-y$$
الحدود الثابتة: $$-\frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 1$$
جمع الكسور والأعداد
$$-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$$
$$-1 - \frac{3}{4} - 1 = -2 - \frac{3}{4}$$
$$-2 = -\frac{8}{4}$$
$$-\frac{8}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{11}{4}$$
تصحيح خطأ في الحساب
دعني أعيد الحساب بدقة أكبر:
$$A = x - \frac{1}{2} - x - y - \frac{3}{4} + x + \frac{1}{2} - 1$$
حدود x: $$x - x + x = x$$
حدود $$\frac{1}{2}$$: $$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
$$A = x - y - \frac{3}{4} - 1 = x - y - \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = x - y - \frac{7}{4}$$ ✅
السؤال 1أ: حساب A في حالة y = x - 3/4
المعطى: $$y = x - \frac{3}{4}$$
نعوض في $$A = x - y - \frac{7}{4}$$:
$$A = x - (x - \frac{3}{4}) - \frac{7}{4}$$
$$A = x - x + \frac{3}{4} - \frac{7}{4}$$
$$A = \frac{3}{4} - \frac{7}{4} = \frac{3-7}{4} = -\frac{4}{4} = -1$$
التحقق من النتيجة
إذا كانت $$y = x - \frac{3}{4}$$، فإن $$x - y = \frac{3}{4}$$
$$A = \frac{3}{4} - \frac{7}{4} = -1$$ ✅
السؤال 1ب: مقارنة x و y عندما A = -1
$$A = x - y - \frac{7}{4} = -1$$
$$x - y = -1 + \frac{7}{4} = -\frac{4}{4} + \frac{7}{4} = \frac{3}{4}$$
قاعدة المقارنة
إذا كان $$x - y > 0$$ فإن $$x > y$$
لأن $$\frac{3}{4} > 0$$، فإن $$x - y > 0$$
إذن: $$x > y$$
مثال توضيحي
إذا كان $$x = 2$$ و $$y = \frac{5}{4}$$:
$$x - y = 2 - \frac{5}{4} = \frac{8}{4} - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$$ ✅
وفعلاً $$2 > \frac{5}{4}$$
السؤال 2: إيجاد x عندما A = 1 - y
$$A = x - y - \frac{7}{4} = 1 - y$$
$$x - y - \frac{7}{4} = 1 - y$$
نضيف y للطرفين:
$$x - \frac{7}{4} = 1$$
$$x = 1 + \frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{7}{4} = \frac{11}{4}$$
التحقق من الحل
إذا كان $$x = \frac{11}{4}$$، فإن:
$$A = \frac{11}{4} - y - \frac{7}{4} = \frac{4}{4} - y = 1 - y$$ ✅
النتيجة النهائية
قيمة x هي: $$x = \frac{11}{4}$$
وهذا الحل صالح لأي قيمة لـ y