⭐⭐ تمرين عدد 12
a، x و y أعداد كسرية نسبية. إذا علمت أن $$x - y = -\frac{3}{2}$$ جد العدد a في الحالات التالية:
1- $$x + a - y = \frac{6}{5}$$
2- $$a - (-x + \frac{3}{2}) - y = 0$$
3- $$(a + x) - (\frac{5}{3} + y) = -\frac{1}{3}$$
4- $$-x - (\frac{5}{2} - y) = a + \frac{3}{2}$$
الحل التفصيلي للتمرين 12
💡 المفتاح الأساسي:
المعطى الأساسي: $$x - y = -\frac{3}{2}$$
سنحتاج لاستخدام هذه المعلومة في كل الحالات!
الحالة 1: $$x + a - y = \frac{6}{5}$$
نعيد ترتيب المعادلة:
$$ (x - y) + a = \frac{6}{5} $$
نعوض قيمة (x - y):
$$ -\frac{3}{2} + a = \frac{6}{5} $$
$$ a = \frac{6}{5} + \frac{3}{2} $$
نوحد المقامات (المقام المشترك = 10):
$$ a = \frac{12}{10} + \frac{15}{10} = \frac{27}{10} $$
الحالة 2: $$a - (-x + \frac{3}{2}) - y = 0$$
نبسط التعبير أولاً:
$$ a + x - \frac{3}{2} - y = 0 $$
نعيد الترتيب:
$$ a + (x - y) - \frac{3}{2} = 0 $$
$$ a + (-\frac{3}{2}) - \frac{3}{2} = 0 $$
$$ a - 3 = 0 $$
$$ a = 3 $$
الحالة 3: $$(a + x) - (\frac{5}{3} + y) = -\frac{1}{3}$$
نفتح الأقواس:
$$ a + x - \frac{5}{3} - y = -\frac{1}{3} $$
نعيد الترتيب:
$$ a + (x - y) = -\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} $$
نعوض قيمة (x - y):
$$ a + (-\frac{3}{2}) = \frac{4}{3} $$
$$ a = \frac{4}{3} + \frac{3}{2} $$
نوحد المقامات (المقام المشترك = 6):
$$ a = \frac{8}{6} + \frac{9}{6} = \frac{17}{6} $$
الحالة 4: $$-x - (\frac{5}{2} - y) = a + \frac{3}{2}$$
نفتح الأقواس:
$$ -x - \frac{5}{2} + y = a + \frac{3}{2} $$
نعيد الترتيب:
$$ -(x - y) - \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2} $$
$$ -(-\frac{3}{2}) - \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2} $$
$$ \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2} $$
$$ -1 = a + \frac{3}{2} $$
$$ a = -1 - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2} $$
خلاصة النتائج:
الحالة 1: $$a = \frac{27}{10}$$
الحالة 2: $$a = 3$$
الحالة 3: $$a = \frac{17}{6}$$
الحالة 4: $$a = -\frac{5}{2}$$
الحالة 1: $$a = \frac{27}{10}$$
الحالة 2: $$a = 3$$
الحالة 3: $$a = \frac{17}{6}$$
الحالة 4: $$a = -\frac{5}{2}$$
⭐⭐ تمرين عدد 13
$$ Y = -y - (x - \frac{17}{6}) + \frac{13}{12} \quad \text{و} \quad X = x - (\frac{17}{6} - y) - \frac{13}{12} $$
1- اختصر X و Y.
2- بين أن X و Y متقابلين.
3- أحسب $$X - Y$$ إذا علمت أن $$y = 0$$ و $$x = -\frac{47}{12}$$.
الحل التفصيلي للتمرين 13
1- اختصار العبارة X
$$ X = x - (\frac{17}{6} - y) - \frac{13}{12} $$
نفتح الأقواس:
$$ X = x - \frac{17}{6} + y - \frac{13}{12} $$
نجمع الكسور (المقام المشترك = 12):
$$ -\frac{17}{6} - \frac{13}{12} = -\frac{34}{12} - \frac{13}{12} = -\frac{47}{12} $$
$$ X = x + y - \frac{47}{12} $$
اختصار العبارة Y
$$ Y = -y - (x - \frac{17}{6}) + \frac{13}{12} $$
نفتح الأقواس:
$$ Y = -y - x + \frac{17}{6} + \frac{13}{12} $$
نجمع الكسور:
$$ \frac{17}{6} + \frac{13}{12} = \frac{34}{12} + \frac{13}{12} = \frac{47}{12} $$
$$ Y = -x - y + \frac{47}{12} $$
2- إثبات أن X و Y متقابلين
لنحسب X + Y:
$$ X + Y = (x + y - \frac{47}{12}) + (-x - y + \frac{47}{12}) $$
$$ X + Y = x + y - \frac{47}{12} - x - y + \frac{47}{12} $$
$$ X + Y = 0 $$
بما أن X + Y = 0، فإن Y = -X
إذن X و Y متقابلان! ✅
3- حساب X - Y عندما y = 0 و x = -47/12
أولاً نحسب X:
$$ X = x + y - \frac{47}{12} = -\frac{47}{12} + 0 - \frac{47}{12} = -\frac{94}{12} = -\frac{47}{6} $$
بما أن X و Y متقابلان:
$$ Y = -X = -(-\frac{47}{6}) = \frac{47}{6} $$
إذن:
$$ X - Y = -\frac{47}{6} - \frac{47}{6} = -\frac{94}{6} = -\frac{47}{3} $$
💡 ملاحظة مهمة:
إذا كان X و Y متقابلين، فإن X - Y = 2X أو X - Y = -2Y
⭐⭐⭐ تمرين عدد 14
قارن a و b في كل حالة من الحالات التالية:
(1) $$|a - b| = 0$$
(2) $$a - (\frac{1}{6} + b) = \frac{25}{3}$$
(3) $$b - (a - 3) = \frac{1}{4}$$
(4) $$a - b = |-\frac{13}{4}| - \frac{15}{2}$$
(5) $$-\frac{15}{4}$$ و $$a - b$$ متقابلين.
الحل التفصيلي للتمرين 14
الحالة (1): $$|a - b| = 0$$
القيمة المطلقة تساوي صفر فقط عندما يكون العدد نفسه صفراً:
$$ a - b = 0 $$
$$ a = b $$
النتيجة: a = b (العددان متساويان)
الحالة (2): $$a - (\frac{1}{6} + b) = \frac{25}{3}$$
نفتح الأقواس:
$$ a - \frac{1}{6} - b = \frac{25}{3} $$
$$ a - b = \frac{25}{3} + \frac{1}{6} $$
نوحد المقامات:
$$ a - b = \frac{50}{6} + \frac{1}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2} $$
بما أن a - b > 0:
النتيجة: a > b
الحالة (3): $$b - (a - 3) = \frac{1}{4}$$
نفتح الأقواس:
$$ b - a + 3 = \frac{1}{4} $$
$$ b - a = \frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{11}{4} $$
نضرب في -1:
$$ a - b = \frac{11}{4} $$
بما أن a - b > 0:
النتيجة: a > b
الحالة (4): $$a - b = |-\frac{13}{4}| - \frac{15}{2}$$
نحسب القيمة المطلقة:
$$ |-\frac{13}{4}| = \frac{13}{4} $$
إذن:
$$ a - b = \frac{13}{4} - \frac{15}{2} = \frac{13}{4} - \frac{30}{4} = -\frac{17}{4} $$
بما أن a - b < 0:
النتيجة: a < b
الحالة (5): $$-\frac{15}{4}$$ و $$a - b$$ متقابلين
إذا كان عددان متقابلين، فمجموعهما = 0:
$$ -\frac{15}{4} + (a - b) = 0 $$
$$ a - b = \frac{15}{4} $$
بما أن a - b > 0:
النتيجة: a > b
ملخص النتائج:
(1) a = b
(2) a > b
(3) a > b
(4) a < b
(5) a > b
(1) a = b
(2) a > b
(3) a > b
(4) a < b
(5) a > b
⭐⭐⭐ تمرين عدد 15
ليكن a و b عددين كسريين حيث $$a + b = \frac{7}{3}$$ و $$a - b = \frac{1}{6}$$.
1- أحسب a و b.
2- أحسب العبارات التالية:
$$ A = (a + \frac{2}{3}) - (b - \frac{1}{2}) $$
$$ B = -a + (b + \frac{5}{6}) - \frac{1}{3} $$
3- قارن A و B.
الحل التفصيلي للتمرين 15
1- إيجاد قيم a و b
المعطى:
$$ a + b = \frac{7}{3} \quad \text{...(1)} $$
$$ a - b = \frac{1}{6} \quad \text{...(2)} $$
نجمع المعادلتين (1) + (2):
$$ (a + b) + (a - b) = \frac{7}{3} + \frac{1}{6} $$
$$ 2a = \frac{14}{6} + \frac{1}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} $$
$$ a = \frac{5}{4} $$
نعوض في المعادلة (1):
$$ \frac{5}{4} + b = \frac{7}{3} $$
$$ b = \frac{7}{3} - \frac{5}{4} = \frac{28}{12} - \frac{15}{12} = \frac{13}{12} $$
2- حساب العبارة A
$$ A = (a + \frac{2}{3}) - (b - \frac{1}{2}) $$
$$ A = a + \frac{2}{3} - b + \frac{1}{2} $$
$$ A = (a - b) + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} $$
نعوض قيمة (a - b):
$$ A = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} $$
نوحد المقامات (المقام المشترك = 6):
$$ A = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$
حساب العبارة B
$$ B = -a + (b + \frac{5}{6}) - \frac{1}{3} $$
$$ B = -a + b + \frac{5}{6} - \frac{1}{3} $$
$$ B = -(a - b) + \frac{5}{6} - \frac{2}{6} $$
$$ B = -\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
3- مقارنة A و B
$$ A = \frac{4}{3}, \quad B = \frac{1}{3} $$
نقارن:
$$ \frac{4}{3} > \frac{1}{3} $$
النتيجة: A > B
💡 طريقة حل نظام المعادلات:
للنظام: a + b = c₁ و a - b = c₂
• نجمع: 2a = c₁ + c₂ ← a = (c₁ + c₂)/2
• نطرح: 2b = c₁ - c₂ ← b = (c₁ - c₂)/2
⭐⭐ تمرين عدد 16
أحسب العبارات التالية ثم رتبها تصاعدياً:
$$ M = \frac{3}{4} - (\frac{7}{12} - \frac{1}{3}) + \frac{5}{6} $$
$$ N = -\frac{2}{3} + (\frac{1}{2} - \frac{7}{12}) - \frac{1}{4} $$
$$ P = \frac{1}{6} - (\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) + \frac{1}{12} $$
الحل التفصيلي للتمرين 16
حساب M
$$ M = \frac{3}{4} - (\frac{7}{12} - \frac{1}{3}) + \frac{5}{6} $$
نحسب ما بداخل الأقواس أولاً:
$$ \frac{7}{12} - \frac{1}{3} = \frac{7}{12} - \frac{4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$
إذن:
$$ M = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{2}{4} + \frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{5}{6} $$
نوحد المقامات:
$$ M = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$
حساب N
$$ N = -\frac{2}{3} + (\frac{1}{2} - \frac{7}{12}) - \frac{1}{4} $$
نحسب ما بداخل الأقواس:
$$ \frac{1}{2} - \frac{7}{12} = \frac{6}{12} - \frac{7}{12} = -\frac{1}{12} $$
إذن:
$$ N = -\frac{2}{3} + (-\frac{1}{12}) - \frac{1}{4} $$
$$ N = -\frac{2}{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{4} $$
نوحد المقامات (المقام المشترك = 12):
$$ N = -\frac{8}{12} - \frac{1}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{12}{12} = -1 $$
حساب P
$$ P = \frac{1}{6} - (\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) + \frac{1}{12} $$
نحسب ما بداخل الأقواس:
$$ \frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{1}{12} $$
إذن:
$$ P = \frac{1}{6} - (-\frac{1}{12}) + \frac{1}{12} $$
$$ P = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} $$
$$ P = \frac{1}{6} + \frac{2}{12} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
الترتيب التصاعدي
النتائج:
$$ M = \frac{4}{3}, \quad N = -1, \quad P = \frac{1}{3} $$
نحول إلى كسور بمقام موحد للمقارنة:
$$ M = \frac{4}{3}, \quad N = -\frac{3}{3}, \quad P = \frac{1}{3} $$
الترتيب التصاعدي: N < P < M
أي: $$-1 < \frac{1}{3} < \frac{4}{3}$$
أي: $$-1 < \frac{1}{3} < \frac{4}{3}$$
⭐⭐⭐ تمرين عدد 17
ليكن x و y عددين كسريين نسبيين حيث $$|x| = \frac{3}{2}$$ و $$|y| = \frac{5}{4}$$.
1- أوجد جميع القيم الممكنة لـ x + y.
2- أوجد جميع القيم الممكنة لـ x - y.
3- في أي حالة تكون قيمة |x + y| أكبر ما يمكن؟
4- في أي حالة تكون قيمة |x - y| أصغر ما يمكن؟
الحل التفصيلي للتمرين 17
💡 القيم الممكنة:
إذا كان |x| = 3/2، فإن x = 3/2 أو x = -3/2
إذا كان |y| = 5/4، فإن y = 5/4 أو y = -5/4
1- القيم الممكنة لـ x + y
الحالات الأربع الممكنة:
الحالة 1: x = 3/2, y = 5/4
$$ x + y = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{6}{4} + \frac{5}{4} = \frac{11}{4} $$
الحالة 2: x = 3/2, y = -5/4
$$ x + y = \frac{3}{2} + (-\frac{5}{4}) = \frac{6}{4} - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} $$
الحالة 3: x = -3/2, y = 5/4
$$ x + y = -\frac{3}{2} + \frac{5}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} $$
الحالة 4: x = -3/2, y = -5/4
$$ x + y = -\frac{3}{2} + (-\frac{5}{4}) = -\frac{6}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{11}{4} $$
القيم الممكنة لـ x + y: $$\{-\frac{11}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{11}{4}\}$$
2- القيم الممكنة لـ x - y
الحالة 1: x = 3/2, y = 5/4
$$ x - y = \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{6}{4} - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} $$
الحالة 2: x = 3/2, y = -5/4
$$ x - y = \frac{3}{2} - (-\frac{5}{4}) = \frac{6}{4} + \frac{5}{4} = \frac{11}{4} $$
الحالة 3: x = -3/2, y = 5/4
$$ x - y = -\frac{3}{2} - \frac{5}{4} = -\frac{6}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{11}{4} $$
الحالة 4: x = -3/2, y = -5/4
$$ x - y = -\frac{3}{2} - (-\frac{5}{4}) = -\frac{6}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} $$
القيم الممكنة لـ x - y: $$\{-\frac{11}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{11}{4}\}$$
3- أكبر قيمة لـ |x + y|
نحسب القيم المطلقة:
$$ |-\frac{11}{4}| = \frac{11}{4}, \quad |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} $$
$$ |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}, \quad |\frac{11}{4}| = \frac{11}{4} $$
أكبر قيمة لـ |x + y|: 11/4
تحدث عندما: (x = 3/2, y = 5/4) أو (x = -3/2, y = -5/4)
أي عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
تحدث عندما: (x = 3/2, y = 5/4) أو (x = -3/2, y = -5/4)
أي عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
4- أصغر قيمة لـ |x - y|
القيم المطلقة لـ x - y:
$$ |-\frac{11}{4}| = \frac{11}{4}, \quad |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} $$
$$ |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}, \quad |\frac{11}{4}| = \frac{11}{4} $$
أصغر قيمة لـ |x - y|: 1/4
تحدث عندما: (x = 3/2, y = 5/4) أو (x = -3/2, y = -5/4)
أي عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
تحدث عندما: (x = 3/2, y = 5/4) أو (x = -3/2, y = -5/4)
أي عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
ملاحظة مهمة:
• |x + y| تكون أكبر عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
• |x - y| تكون أصغر عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
• |x + y| تكون أكبر عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
• |x - y| تكون أصغر عندما يكون x و y لهما نفس الإشارة
⭐⭐ تمرين عدد 18
حل المعادلات التالية في مجموعة الأعداد الكسرية النسبية:
1- $$x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{1}{4}$$
2- $$\frac{3}{4} - x = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$$
3- $$|x - \frac{1}{3}| = \frac{2}{5}$$
4- $$|\frac{3}{4} + x| = \frac{1}{2}$$
5- $$|2x - 1| = \frac{3}{2}$$
الحل التفصيلي للتمرين 18
1- حل: $$x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{1}{4}$$
نحسب الطرف الأيمن أولاً:
$$ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12} $$
إذن المعادلة تصبح:
$$ x + \frac{2}{3} = \frac{7}{12} $$
$$ x = \frac{7}{12} - \frac{2}{3} = \frac{7}{12} - \frac{8}{12} = -\frac{1}{12} $$
الحل: $$x = -\frac{1}{12}$$
2- حل: $$\frac{3}{4} - x = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$$
نحسب الطرف الأيمن:
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$
إذن:
$$ \frac{3}{4} - x = \frac{2}{3} $$
$$ -x = \frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{1}{12} $$
$$ x = \frac{1}{12} $$
الحل: $$x = \frac{1}{12}$$
3- حل: $$|x - \frac{1}{3}| = \frac{2}{5}$$
هذه معادلة بقيمة مطلقة، لها حلان:
الحل الأول:
$$ x - \frac{1}{3} = \frac{2}{5} $$
$$ x = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} $$
الحل الثاني:
$$ x - \frac{1}{3} = -\frac{2}{5} $$
$$ x = -\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = -\frac{6}{15} + \frac{5}{15} = -\frac{1}{15} $$
الحلول: $$x = \frac{11}{15} \text{ أو } x = -\frac{1}{15}$$
4- حل: $$|\frac{3}{4} + x| = \frac{1}{2}$$
الحل الأول:
$$ \frac{3}{4} + x = \frac{1}{2} $$
$$ x = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} $$
الحل الثاني:
$$ \frac{3}{4} + x = -\frac{1}{2} $$
$$ x = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{5}{4} $$
الحلول: $$x = -\frac{1}{4} \text{ أو } x = -\frac{5}{4}$$
5- حل: $$|2x - 1| = \frac{3}{2}$$
الحل الأول:
$$ 2x - 1 = \frac{3}{2} $$
$$ 2x = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} $$
$$ x = \frac{5}{4} $$
الحل الثاني:
$$ 2x - 1 = -\frac{3}{2} $$
$$ 2x = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} $$
$$ x = -\frac{1}{4} $$
الحلول: $$x = \frac{5}{4} \text{ أو } x = -\frac{1}{4}$$
💡 قاعدة حل معادلات القيمة المطلقة:
إذا كان |A| = b حيث b > 0، فإن:
A = b أو A = -b
⭐⭐⭐ تمرين عدد 19
ليكن ABC مثلث حيث أطوال أضلاعه كسرية. إذا علمت أن:
AB = x + \frac{1}{2}, \quad BC = \frac{3}{4} - x, \quad AC = \frac{5}{6}
1- أحسب محيط المثلث ABC.
2- إذا كان المثلث ABC متساوي الساقين، جد قيمة x في جميع الحالات الممكنة.
3- في أي حالة يكون المثلث ABC متساوي الأضلاع؟
الحل التفصيلي للتمرين 19
1- حساب محيط المثلث
المحيط = مجموع أطوال الأضلاع:
$$ \text{المحيط} = AB + BC + AC $$
$$ = (x + \frac{1}{2}) + (\frac{3}{4} - x) + \frac{5}{6} $$
$$ = x + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - x + \frac{5}{6} $$
$$ = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} $$
نوحد المقامات (المقام المشترك = 12):
$$ \text{المحيط} = \frac{6}{12} + \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{25}{12} $$
محيط المثلث: $$\frac{25}{12}$$
2- المثلث متساوي الساقين
في المثلث متساوي الساقين، ضلعان متساويان. الحالات الممكنة:
الحالة 1: AB = BC
$$ x + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - x $$
$$ 2x = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} $$
$$ x = \frac{1}{8} $$
نتحقق: AB = 1/8 + 1/2 = 5/8, BC = 3/4 - 1/8 = 5/8 ✓
الحالة 2: AB = AC
$$ x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} $$
$$ x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
نتحقق: AB = 1/3 + 1/2 = 5/6, AC = 5/6 ✓
الحالة 3: BC = AC
$$ \frac{3}{4} - x = \frac{5}{6} $$
$$ -x = \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12} $$
$$ x = -\frac{1}{12} $$
نتحقق: BC = 3/4 - (-1/12) = 3/4 + 1/12 = 10/12 = 5/6, AC = 5/6 ✓
قيم x للمثلث متساوي الساقين:
$$x = \frac{1}{8} \text{ أو } x = \frac{1}{3} \text{ أو } x = -\frac{1}{12}$$
$$x = \frac{1}{8} \text{ أو } x = \frac{1}{3} \text{ أو } x = -\frac{1}{12}$$
3- المثلث متساوي الأضلاع
في المثلث متساوي الأضلاع، جميع الأضلاع متساوية:
AB = BC = AC
من الحالة 1 في السؤال السابق: عندما AB = BC، نحصل على x = 1/8
نتحقق من AB = AC:
$$ AB = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} $$
$$ AC = \frac{5}{6} $$
بما أن 5/8 ≠ 5/6، فإن المثلث ليس متساوي الأضلاع.
نتحقق من الحالات الأخرى بنفس الطريقة ونجد أنه لا توجد قيمة لـ x تجعل جميع الأضلاع متساوية.
النتيجة: لا يمكن أن يكون المثلث ABC متساوي الأضلاع لأي قيمة لـ x
💡 شرط وجود المثلث:
يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث
(متباينة المثلث)
⭐⭐⭐ تمرين عدد 20
دراسة متقدمة للكسور والقيمة المطلقة:
1- حل المعادلة: $$|x - \frac{1}{4}| + |x + \frac{1}{2}| = \frac{3}{4}$$
2- جد جميع قيم x حيث: $$|x - \frac{1}{3}| - |x + \frac{2}{3}| = 1$$
3- أثبت أنه لا توجد قيمة لـ x تحقق: $$|x - 1| + |x - 2| = \frac{1}{2}$$
4- ليكن $$f(x) = |x - \frac{1}{2}| + |x + \frac{1}{3}|$$. جد القيمة الصغرى لـ f(x).
الحل التفصيلي للتمرين 20
1- حل: $$|x - \frac{1}{4}| + |x + \frac{1}{2}| = \frac{3}{4}$$
نحدد النقاط الحرجة: x = 1/4 و x = -1/2
ندرس الحالات المختلفة:
الحالة 1: $$x \leq -\frac{1}{2}$$
$$ -(x - \frac{1}{4}) + (-(x + \frac{1}{2})) = \frac{3}{4} $$
$$ -x + \frac{1}{4} - x - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $$
$$ -2x - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$
$$ -2x = 1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} $$
نتحقق: x = -1/2 يحقق الشرط x ≤ -1/2 ✓
الحالة 2: $$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{4}$$
$$ -(x - \frac{1}{4}) + (x + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} $$
$$ -x + \frac{1}{4} + x + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $$
$$ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $$
هذا صحيح لجميع قيم x في المجال (-1/2, 1/4)
الحالة 3: $$x \geq \frac{1}{4}$$
$$ (x - \frac{1}{4}) + (x + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} $$
$$ 2x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$
$$ 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4} $$
نتحقق: x = 1/4 يحقق الشرط x ≥ 1/4 ✓
الحل: $$x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}]$$
2- حل: $$|x - \frac{1}{3}| - |x + \frac{2}{3}| = 1$$
النقاط الحرجة: x = 1/3 و x = -2/3
الحالة 1: $$x \leq -\frac{2}{3}$$
$$ -(x - \frac{1}{3}) - (-(x + \frac{2}{3})) = 1 $$
$$ -x + \frac{1}{3} + x + \frac{2}{3} = 1 $$
$$ 1 = 1 $$
صحيح لجميع قيم x ≤ -2/3
الحالة 2: $$-\frac{2}{3} < x < \frac{1}{3}$$
$$ -(x - \frac{1}{3}) - (x + \frac{2}{3}) = 1 $$
$$ -x + \frac{1}{3} - x - \frac{2}{3} = 1 $$
$$ -2x - \frac{1}{3} = 1 $$
$$ x = -\frac{2}{3} $$
لكن x = -2/3 ليس في المجال (-2/3, 1/3)
الحالة 3: $$x \geq \frac{1}{3}$$
$$ (x - \frac{1}{3}) - (x + \frac{2}{3}) = 1 $$
$$ x - \frac{1}{3} - x - \frac{2}{3} = 1 $$
$$ -1 = 1 $$
هذا مستحيل!
الحل: $$x \in (-\infty, -\frac{2}{3}]$$
3- إثبات عدم وجود حل لـ: $$|x - 1| + |x - 2| = \frac{1}{2}$$
نستخدم المتباينة المثلثية:
$$ |x - 1| + |x - 2| \geq |(x-1) - (x-2)| = |1| = 1 $$
إذن أصغر قيمة ممكنة لـ |x - 1| + |x - 2| هي 1
بما أن 1/2 < 1، فإنه لا توجد قيمة لـ x تحقق المعادلة.
النتيجة: لا يوجد حل للمعادلة ✅
4- القيمة الصغرى لـ $$f(x) = |x - \frac{1}{2}| + |x + \frac{1}{3}|$$
بطريقة مشابهة للسؤال السابق:
$$ f(x) \geq |(x - \frac{1}{2}) - (x + \frac{1}{3})| = |-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}| = \frac{5}{6} $$
هذه القيمة الصغرى تتحقق عندما:
$$ -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2} $$
القيمة الصغرى: $$\frac{5}{6}$$
تتحقق عندما: $$x \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$$
تتحقق عندما: $$x \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$$
💡 المتباينة المثلثية:
لأي عددين حقيقيين a و b:
$$|a| + |b| \geq |a + b|$$ و $$|a| + |b| \geq |a - b|$$
المساواة تتحقق عندما يكون a و b لهما نفس الإشارة (للأولى) أو إشارات متضادة (للثانية)