المعطيات وفهم المسألة
المعطيات:
$$y - z = -\frac{1}{2}$$ ... (1)
$$x - y = -\frac{1}{3}$$ ... (2)
فهم المعطيات
• المعادلة (1) تخبرنا بالعلاقة بين y و z
• المعادلة (2) تخبرنا بالعلاقة بين x و y
• نريد إيجاد العلاقة بين x و z، ثم قيم المتغيرات، ثم ترتيبها
السؤال 1: حساب x - z
تطبيق خاصية انتقالية الفروق:
$$x - z = (x - y) + (y - z)$$
التعويض بالقيم المعطاة:
$$x - z = (-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{2})$$
تبسيط العملية:
$$x - z = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2}$$
توحيد المقامات
المقام المشترك بين 3 و 2 هو 6:
$$-\frac{1}{3} = -\frac{2}{6}$$
$$-\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}$$
الحساب النهائي:
$$x - z = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}$$
$$x - z = -\frac{5}{6}$$
التحقق من النتيجة
يمكن التحقق من النتيجة باستخدام العلاقة العكسية:
إذا كان $$x - z = -\frac{5}{6}$$، فهذا يعني أن x أصغر من z بمقدار $$\frac{5}{6}$$
السؤال 2: استنتاج قيم x، y، z
طريقة الحل
لدينا 3 متغيرات و 2 معادلة فقط، لذلك يمكن اختيار قيمة لأحد المتغيرات
سنختار $$z = 0$$ لتبسيط الحسابات (يمكن اختيار أي قيمة أخرى)
اختيار z = 0:
نفترض أن $$z = 0$$
إيجاد y من المعادلة (1):
$$y - z = -\frac{1}{2}$$
$$y - 0 = -\frac{1}{2}$$
$$y = -\frac{1}{2}$$
إيجاد x من المعادلة (2):
$$x - y = -\frac{1}{3}$$
$$x - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3}$$
$$x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$$
$$x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2}$$
حساب x:
$$x = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}$$
التحقق من النتائج
نتحقق من صحة المعادلات الأصلية:
$$y - z = -\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$$ ✅
$$x - y = -\frac{5}{6} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ ✅
$$x - z = -\frac{5}{6} - 0 = -\frac{5}{6}$$ ✅
الحل العام
إذا كان $$z = k$$ (أي عدد)، فإن:
$$y = k - \frac{1}{2}$$
$$x = k - \frac{5}{6}$$
اخترنا $$k = 0$$ للتبسيط، لكن العلاقات صحيحة لأي قيمة k
السؤال 3: الترتيب التصاعدي
مبدأ الترتيب
لترتيب الأعداد، سنقارن الفروق بينها:
• إذا كان $$a - b < 0$$ فإن $$a < b$$
• إذا كان $$a - b > 0$$ فإن $$a > b$$
• إذا كان $$a - b = 0$$ فإن $$a = b$$
مقارنة x و y:
$$x - y = -\frac{1}{3} < 0$$
إذن: $$x < y$$
مقارنة y و z:
$$y - z = -\frac{1}{2} < 0$$
إذن: $$y < z$$
مقارنة x و z:
$$x - z = -\frac{5}{6} < 0$$
إذن: $$x < z$$
مقارنة الكسور للتأكد
نحول الكسور لمقامات موحدة للمقارنة الدقيقة:
$$x = -\frac{5}{6}$$، $$y = -\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}$$، $$z = 0$$
بما أن $$-\frac{5}{6} < -\frac{3}{6} < 0$$
فإن $$x < y < z$$
الترتيب التصاعدي النهائي
$$x < y < z$$
أي: $$-\frac{5}{6} < -\frac{1}{2} < 0$$
تمثيل على خط الأعداد:
← الأعداد الأصغر الأعداد الأكبر →
ملخص النتائج النهائية
خلاصة العلاقات
• x هو الأصغر بين الثلاثة
• z هو الأكبر بين الثلاثة
• y يقع في المنتصف
• جميع الأعداد سالبة أو صفر
نصائح مهمة للامتحان
• تذكر خاصية انتقالية الفروق: $$(a-b) + (b-c) = a-c$$
• عند اختيار قيمة لأحد المتغيرات، اختر الأبسط (مثل 0)
• تحقق دائماً من النتائج بالتعويض في المعادلات الأصلية
• للترتيب، قارن الفروق أو حول لمقامات موحدة