📝 فرض مراقبة رقم 4

$$xy = -5$$ نريد إيجاد قيمة $$\frac{x}{y}$$ من المعادلة $$xy = -5$$، نحصل على: $$x = \frac{-5}{y}$$ إذن: $$\frac{x}{y} = \frac{\frac{-5}{y}}{y} = \frac{-5}{y^2}$$ أو يمكن كتابتها: $$\frac{x}{y} = \frac{x \cdot y}{y^2} = \frac{xy}{y^2} = \frac{-5}{y^2}$$ ولكن الجواب الأنسب من الخيارات المعطاة هو: $$-5xy$$ لأنه إذا ضربنا $$\frac{x}{y}$$ في $$y^2$$: $$\frac{x}{y} \cdot y^2 = xy = -5$$

$$a + b = -\frac{7}{5}$$ المجموع سالب، لذا لا يمكن أن يكون كلا من $$a$$ و $$b$$ موجبين. من $$a + b = -\frac{7}{5}$$، نحصل على: $$a = -\frac{7}{5} - b$$ نريد مقارنة $$a$$ مع $$-b$$: $$a = -\frac{7}{5} - b < 0 - b = -b$$ (لأن $$-\frac{7}{5} < 0$$) إذن: $$a < -b$$

$$E = \frac{2}{5}\left[\frac{3}{4} - (1-x)\right] + 0.75$$ $$= \frac{2}{5}\left[\frac{3}{4} - 1 + x\right] + \frac{3}{4}$$ $$= \frac{2}{5}\left[\frac{3-4}{4} + x\right] + \frac{3}{4}$$ $$= \frac{2}{5}\left[-\frac{1}{4} + x\right] + \frac{3}{4}$$ $$= \frac{2}{5} \times \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2}{5}x + \frac{3}{4}$$ $$= -\frac{2}{20} + \frac{2x}{5} + \frac{3}{4}$$ $$= -\frac{1}{10} + \frac{2x}{5} + \frac{3}{4}$$ $$= \frac{2x}{5} + \frac{3}{4} - \frac{1}{10}$$ $$= \frac{2x}{5} + \frac{15 - 2}{20} = \frac{2x}{5} + \frac{13}{20}$$

$$F = 2 - \left(y - \frac{7}{3}\right) - \left[\frac{49}{21} - \frac{2}{3}\right]$$ أولاً نحسب $$\frac{49}{21} = \frac{7 \times 7}{3 \times 7} = \frac{7}{3}$$ $$F = 2 - \left(y - \frac{7}{3}\right) - \left[\frac{7}{3} - \frac{2}{3}\right]$$ $$= 2 - y + \frac{7}{3} - \frac{5}{3}$$ $$= 2 - y + \frac{7-5}{3}$$ $$= 2 - y + \frac{2}{3}$$ $$= \frac{6 + 2}{3} - y = \frac{8}{3} - y$$

باستخدام النتائج الصحيحة: $$E = \frac{2x}{5} + \frac{13}{20}$$ $$F = \frac{8}{3} - y$$ مع $$x = -\frac{2}{3}$$ و $$y = -\frac{2}{5}$$: $$E = \frac{2 \times (-\frac{2}{3})}{5} + \frac{13}{20} = -\frac{4}{15} + \frac{13}{20}$$ $$F = \frac{8}{3} - (-\frac{2}{5}) = \frac{8}{3} + \frac{2}{5}$$ $$E + F = -\frac{4}{15} + \frac{13}{20} + \frac{8}{3} + \frac{2}{5}$$ توحيد المقامات (المضاعف المشترك هو 60): $$E + F = -\frac{16}{60} + \frac{39}{60} + \frac{160}{60} + \frac{24}{60}$$ $$= \frac{-16 + 39 + 160 + 24}{60} = \frac{207}{60} = \frac{69}{20}$$

$$E = \frac{2x}{5} + \frac{13}{20}$$ $$-\frac{5x}{2}$$ نحسب $$E - \left(-\frac{5x}{2}\right) = E + \frac{5x}{2}$$: $$= \frac{2x}{5} + \frac{13}{20} + \frac{5x}{2}$$ $$= \frac{4x + 50x}{10} + \frac{13}{20}$$ $$= \frac{54x}{10} + \frac{13}{20} = \frac{27x}{5} + \frac{13}{20}$$ إشارة هذا التعبير تعتمد على قيمة $$x$$: - إذا كان $$x > 0$$، فإن $$E > -\frac{5x}{2}$$ - إذا كان $$x < -\frac{13}{108}$$، فإن $$E < -\frac{5x}{2}$$

E و F متقابلان يعني: $$E = -F$$ $$\frac{2x}{5} + \frac{13}{20} = -\left(\frac{8}{3} - y\right)$$ $$\frac{2x}{5} + \frac{13}{20} = -\frac{8}{3} + y$$ $$y - \frac{2x}{5} = \frac{13}{20} + \frac{8}{3}$$ $$y - \frac{2x}{5} = \frac{39 + 160}{60} = \frac{199}{60}$$ $$y = \frac{2x}{5} + \frac{199}{60}$$ بما أن $$\frac{199}{60} > 0$$، فإن $$y > \frac{2x}{5}$$ وبالتالي: $$y > x$$ (في معظم الحالات)

$$F + \frac{3}{4} = -2$$ $$F = -2 - \frac{3}{4} = -\frac{8 + 3}{4} = -\frac{11}{4}$$ ولكن $$F = \frac{8}{3} - y$$، لذا: $$\frac{8}{3} - y = -\frac{11}{4}$$ $$y = \frac{8}{3} + \frac{11}{4} = \frac{32 + 33}{12} = \frac{65}{12}$$ هذا يحدد قيمة $$y$$ وليس $$x$$. السؤال يطلب قيمة $$x$$ لكن المعادلة تحتوي على $$F$$ التي تعتمد على $$y$$.

$$a = -\frac{3}{4} \times \frac{5}{13} - \frac{3}{4} \times \frac{8}{13}$$ نخرج العامل المشترك $$-\frac{3}{4}$$: $$a = -\frac{3}{4} \times \left(\frac{5}{13} + \frac{8}{13}\right)$$ $$= -\frac{3}{4} \times \frac{13}{13}$$ $$= -\frac{3}{4} \times 1$$ $$= -\frac{3}{4}$$

$$b = \left(-\frac{27}{5}\right) \times \frac{1}{2} \times \left(-\frac{5}{9}\right)$$ $$= \frac{(-27) \times 1 \times (-5)}{5 \times 2 \times 9}$$ $$= \frac{27 \times 5}{5 \times 2 \times 9}$$ $$= \frac{27}{18} = \frac{3 \times 9}{2 \times 9} = \frac{3}{2}$$

المعطى: $$\frac{2}{5c} = \frac{4d}{10}$$ بضرب الطرفين (الضرب التبادلي): $$2 \times 10 = 5c \times 4d$$ $$20 = 20cd$$ بقسمة الطرفين على 20: $$\frac{20}{20} = \frac{20cd}{20}$$ $$1 = cd$$ وهذا يعني أن $$c$$ و $$d$$ مقلوبان لبعضهما البعض.

فاصلة I هي 1 (لأن OI = 1) فاصلة A هي $$-\frac{7}{4}$$ فاصلة B هي $$\frac{15}{4}$$ $$AI = |x_A - x_I| = \left|-\frac{7}{4} - 1\right| = \left|-\frac{7}{4} - \frac{4}{4}\right| = \left|-\frac{11}{4}\right| = \frac{11}{4}$$ $$AB = |x_B - x_A| = \left|\frac{15}{4} - \left(-\frac{7}{4}\right)\right| = \left|\frac{15}{4} + \frac{7}{4}\right| = \left|\frac{22}{4}\right| = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$$

للتحقق من أن A و B متناظرتان بالنسبة إلى I، نحسب: $$BI = |x_B - x_I| = \left|\frac{15}{4} - 1\right| = \left|\frac{15}{4} - \frac{4}{4}\right| = \frac{11}{4}$$ نلاحظ أن: $$AI = BI = \frac{11}{4}$$ وأن I تقع بين A و B لأن: $$x_A < x_I < x_B$$ $$-\frac{7}{4} < 1 < \frac{15}{4}$$ بما أن I متساوية المسافة من A و B وتقع بينهما، فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى I.