الدرس الأول: مجموعة الأعداد الكسرية النسبية
تذكير بالمجموعات الأساسية:
•
$$\mathbb{N}$$
= مجموعة الأعداد الطبيعية (0، 1، 2، 3، ...)
•
$$\mathbb{Z}$$
= مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (...، -2، -1، 0، 1، 2، ...)
•
$$\mathbb{D}$$
= مجموعة الأعداد العشرية (مثل: 2.5، -1.75، 0.125)
•
$$\mathbb{Q}$$
= مجموعة الأعداد الكسرية النسبية (كل عدد يمكن كتابته على شكل
$$\frac{a}{b}$$
حيث
$$a \in \mathbb{Z}$$
و
$$b \in \mathbb{Z}^*$$
)
★ تمرين عدد 1
أتمم بأحد الرمزين "$$\in$$" أو "$$\notin$$":
$$-3.1 \ldots \mathbb{D}$$
(1) ؛
$$\frac{13}{4} \ldots \mathbb{D}$$
(2) ؛
$$\frac{17}{5} \ldots \mathbb{D}$$
(3)
$$-(-5) \ldots \mathbb{D}$$
(4) ؛
$$\frac{35}{5} \ldots \mathbb{D}$$
(5) ؛
$$-\frac{11}{7} \ldots \mathbb{D}$$
(6)
إظهار/إخفاء التصحيح
🔍 التصحيح المفصل:
أولاً: فهم العدد العشري
العدد العشري هو عدد يمكن كتابته على شكل
$$\frac{a}{10^n}$$
حيث
$$a \in \mathbb{Z}$$
و
$$n \in \mathbb{N}$$
مثال توضيحي:
$$2.5 = \frac{25}{10} = \frac{25}{10^1}$$
← عدد عشري
$$0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{125}{10^3}$$
← عدد عشري
$$\frac{1}{3} = 0.333...$$
← ليس عدد عشري (تطوير لا نهائي غير دوري)
الحلول:
(1)
$$-3.1 \in \mathbb{D}$$
لأن
$$-3.1 = \frac{-31}{10}$$
(2)
$$\frac{13}{4} \in \mathbb{D}$$
لأن
$$\frac{13}{4} = \frac{13 \times 25}{4 \times 25} = \frac{325}{100} = 3.25$$
(3)
$$\frac{17}{5} \in \mathbb{D}$$
لأن
$$\frac{17}{5} = \frac{17 \times 2}{5 \times 2} = \frac{34}{10} = 3.4$$
(4)
$$-(-5) = 5 \in \mathbb{D}$$
لأن
$$5 = \frac{5}{1} = \frac{50}{10}$$
(5)
$$\frac{35}{5} = 7 \in \mathbb{D}$$
لأن
$$7 = \frac{70}{10}$$
(6)
$$-\frac{11}{7} \notin \mathbb{D}$$
لأن 7 لا يحتوي على عوامل أولية غير 2 و 5
قاعدة مهمة:
الكسر
$$\frac{a}{b}$$
(في أبسط صورة) يكون عشرياً إذا وفقط إذا كان مقامه
$$b$$
من الشكل
$$2^m \times 5^n$$
حيث
$$m, n \in \mathbb{N}$$
★ تمرين عدد 2
تعتبر المجموعة العددية $$A = \left\{11 ; \frac{1}{8} ; \frac{13}{25} ; -3 ; +\frac{9}{2} ; \frac{15}{3}\right\}$$
حدد عناصر المجموعات التالية:
$$A \cap \mathbb{Z}_- = \ldots$$
؛
$$A \cap \mathbb{Z}_+ = \ldots$$
$$A \cap \mathbb{D}_- = \ldots$$
؛
$$A \cap \mathbb{D}_+ = \ldots$$
إظهار/إخفاء التصحيح
🔍 التصحيح المفصل:
الخطوة 1: تبسيط عناصر المجموعة A
•
$$11$$
← عدد طبيعي
•
$$\frac{1}{8} = 0.125$$
← عدد عشري موجب
•
$$\frac{13}{25} = \frac{13 \times 4}{25 \times 4} = \frac{52}{100} = 0.52$$
← عدد عشري موجب
•
$$-3$$
← عدد صحيح سالب
•
$$+\frac{9}{2} = 4.5$$
← عدد عشري موجب
•
$$\frac{15}{3} = 5$$
← عدد طبيعي
تذكير:
•
$$\mathbb{Z}_+$$
= الأعداد الصحيحة الموجبة {1, 2, 3, ...}
•
$$\mathbb{Z}_-$$
= الأعداد الصحيحة السالبة {..., -3, -2, -1}
•
$$\mathbb{D}_+$$
= الأعداد العشرية الموجبة
•
$$\mathbb{D}_-$$
= الأعداد العشرية السالبة
الحلول:
•
$$A \cap \mathbb{Z}_- = \{-3\}$$
•
$$A \cap \mathbb{Z}_+ = \{11, 5\}$$
•
$$A \cap \mathbb{D}_- = \{\}$$
(مجموعة فارغة لأنه لا توجد أعداد عشرية سالبة في A)
•
$$A \cap \mathbb{D}_+ = \{0.125, 0.52, 4.5\}$$
أو
$$\left\{\frac{1}{8}, \frac{13}{25}, \frac{9}{2}\right\}$$
★ تمرين عدد 3
حدد الأعداد العشرية النسبية من بين الأعداد التالية و اكتبها على صورة $$\frac{a}{10^n}$$ حيث $$a$$ و $$n$$ عددان صحيحان:
$$\frac{7}{3}$$
؛
$$\frac{25}{12}$$
؛
$$-8$$
؛
$$\frac{38}{15}$$
؛
$$\frac{-13}{24}$$
؛
$$+\frac{13}{-21}$$
؛
$$\frac{-9}{25}$$
إظهار/إخفاء التصحيح
🔍 التصحيح المفصل:
طريقة التحقق من العدد العشري:
فحص كل عدد:
•
$$\frac{7}{3}$$
: المقام 3 = 3¹ ← ليس عشري
•
$$\frac{25}{12}$$
:
$$12 = 2^2 \times 3$$
← ليس عشري (يحتوي على 3)
•
$$-8 = \frac{-8}{1}$$
: المقام 1 ← عشري
•
$$\frac{38}{15}$$
:
$$15 = 3 \times 5$$
← ليس عشري (يحتوي على 3)
•
$$\frac{-13}{24}$$
:
$$24 = 2^3 \times 3$$
← ليس عشري (يحتوي على 3)
•
$$\frac{13}{-21} = -\frac{13}{21}$$
:
$$21 = 3 \times 7$$
← ليس عشري
•
$$\frac{-9}{25}$$
:
$$25 = 5^2$$
← عشري
الأعداد العشرية وتحويلها:
•
$$-8 = \frac{-8}{1} = \frac{-80}{10} = \frac{-8}{10^1}$$
•
$$\frac{-9}{25} = \frac{-9 \times 4}{25 \times 4} = \frac{-36}{100} = \frac{-36}{10^2}$$
ملاحظة مهمة للطلاب: هذه التمارين تهدف إلى تطوير فهم الطلاب لمجموعات الأعداد المختلفة وخصائصها الرياضية. تأكد من فهم كل مفهوم قبل الانتقال للتمرين التالي. انقر على زر "إظهار/إخفاء التصحيح" لرؤية الحلول المفصلة.
ملخص المفاهيم الأساسية:
1- كيفية التحقق من العدد العشري:
الكسر
$$\frac{a}{b}$$
(في أبسط صورة) عشري ⟺ المقام
$$b$$
من الشكل
$$2^m \times 5^n$$
2- القيمة المطلقة:
•
$$|a| \geq 0$$
دائماً
• إذا كان
$$|x| = a$$
حيث
$$a > 0$$
، فإن
$$x = a$$
أو
$$x = -a$$
• إذا كان
$$|x| = a$$
حيث
$$a < 0$$
، فلا يوجد حل
3- العلاقات بين المجموعات:
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$$
4- نصائح للحل:
• اختزل الكسور قبل فحص العشرية
• استخدم التحليل إلى عوامل أولية لفهم بنية المقام
• تذكر أن كل عدد صحيح هو عدد عشري
• انتبه للرموز:
$$\mathbb{Q}^*$$
تعني "بدون الصفر"،
$$\mathbb{Q}_+$$
تعني "الموجبة فقط"
للمعلمين: اقتراحات تعليمية
• ابدأ بأمثلة بسيطة وانتقل تدريجياً للمعقد
• استخدم التمثيل البصري على المستقيم المدرج
• أكد على أهمية الاختزال قبل فحص العشرية
• اربط المفاهيم بالحياة العملية (قياسات، نقود، إحصائيات)
• شجع الطلاب على التحقق من إجاباتهم بطرق مختلفة