تمرين عدد 1
احسب مختزلا إلى أقصى حد:
$$\frac{-2}{3} \times \frac{4}{5}$$ | $$8 \times \frac{5}{6}$$ | $$\frac{-2}{5} \times (5)$$
$$\frac{8}{14} \times \frac{-2}{7}$$ | $$(-1) \times \frac{3}{8}$$ | $$\frac{6}{-7} \times \frac{2}{9}$$
$$\frac{-2}{3} \times \frac{4}{5}$$ | $$8 \times \frac{5}{6}$$ | $$\frac{-2}{5} \times (5)$$
$$\frac{8}{14} \times \frac{-2}{7}$$ | $$(-1) \times \frac{3}{8}$$ | $$\frac{6}{-7} \times \frac{2}{9}$$
شرح الحل التفصيلي
القاعدة الأساسية: لضرب عددين كسريين، نضرب البسط في البسط والمقام في المقام: $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$. من الأفضل دائمًا البحث عن قاسم مشترك للاختزال قبل إتمام عملية الضرب لتسهيل الحسابات.
💫 الحلول خطوة بخطوة:
1) $$\frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{-2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{-8}{15}$$ (لا يوجد اختزال ممكن).
2) $$8 \times \frac{5}{6} = \frac{8}{1} \times \frac{5}{6} = \frac{40}{6}$$. البسط والمقام يقبلان القسمة على 2، إذن: $$\frac{40 \div 2}{6 \div 2} = \frac{20}{3}$$.
3) $$\frac{-2}{5} \times 5 = \frac{-2}{5} \times \frac{5}{1} = \frac{-2 \times 5}{5 \times 1}$$. نختزل بـ 5: $$\frac{-2 \times \cancel{5}}{\cancel{5} \times 1} = -2$$.
4) $$\frac{8}{14} \times \frac{-2}{7}$$. نختزل الكسر الأول $$\frac{8 \div 2}{14 \div 2} = \frac{4}{7}$$. تصبح العملية: $$\frac{4}{7} \times \frac{-2}{7} = \frac{4 \times (-2)}{7 \times 7} = \frac{-8}{49}$$.
5) $$(-1) \times \frac{3}{8} = \frac{-1}{1} \times \frac{3}{8} = \frac{-3}{8}$$.
6) $$\frac{6}{-7} \times \frac{2}{9} = \frac{-6}{7} \times \frac{2}{9}$$. نلاحظ أن 6 و 9 يقبلان القسمة على 3. $$\frac{-6 \div 3}{7} \times \frac{2}{9 \div 3} = \frac{-2}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{-4}{21}$$.
1) $$\frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{-2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{-8}{15}$$ (لا يوجد اختزال ممكن).
2) $$8 \times \frac{5}{6} = \frac{8}{1} \times \frac{5}{6} = \frac{40}{6}$$. البسط والمقام يقبلان القسمة على 2، إذن: $$\frac{40 \div 2}{6 \div 2} = \frac{20}{3}$$.
3) $$\frac{-2}{5} \times 5 = \frac{-2}{5} \times \frac{5}{1} = \frac{-2 \times 5}{5 \times 1}$$. نختزل بـ 5: $$\frac{-2 \times \cancel{5}}{\cancel{5} \times 1} = -2$$.
4) $$\frac{8}{14} \times \frac{-2}{7}$$. نختزل الكسر الأول $$\frac{8 \div 2}{14 \div 2} = \frac{4}{7}$$. تصبح العملية: $$\frac{4}{7} \times \frac{-2}{7} = \frac{4 \times (-2)}{7 \times 7} = \frac{-8}{49}$$.
5) $$(-1) \times \frac{3}{8} = \frac{-1}{1} \times \frac{3}{8} = \frac{-3}{8}$$.
6) $$\frac{6}{-7} \times \frac{2}{9} = \frac{-6}{7} \times \frac{2}{9}$$. نلاحظ أن 6 و 9 يقبلان القسمة على 3. $$\frac{-6 \div 3}{7} \times \frac{2}{9 \div 3} = \frac{-2}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{-4}{21}$$.
تمرين عدد 2
احسب و اختزل إلى أقصى حد الأعداد الكسرية التالية:
$$a = \frac{-8}{15} \times \frac{5}{8} \times 2$$
$$b = \frac{17}{5} \times \frac{50}{34} \times \frac{3}{10}$$
$$c = \frac{13}{11} \times (\frac{22}{26} - \frac{1}{2})$$
$$d = \frac{-10}{7} \times (\frac{14}{100} - \frac{4}{10})$$
$$a = \frac{-8}{15} \times \frac{5}{8} \times 2$$
$$b = \frac{17}{5} \times \frac{50}{34} \times \frac{3}{10}$$
$$c = \frac{13}{11} \times (\frac{22}{26} - \frac{1}{2})$$
$$d = \frac{-10}{7} \times (\frac{14}{100} - \frac{4}{10})$$
شرح الحل التفصيلي
استراتيجية الحل: نبدأ بالحساب داخل الأقواس أولاً، مع توحيد المقامات إذا لزم الأمر. ثم نقوم بعملية الضرب مع محاولة الاختزال قدر الإمكان لتبسيط العمليات.
🎯 الحلول المفصلة:
a) $$a = \frac{-8}{15} \times \frac{5}{8} \times 2$$
نلاحظ وجود 8 في البسط و 8 في المقام، فنختزل بهما:
$$a = \frac{-\cancel{8}}{15} \times \frac{5}{\cancel{8}} \times 2 = \frac{-1}{15} \times 5 \times 2 = \frac{-10}{15}$$
نختزل بالقسمة على 5: $$a = \frac{-10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{-2}{3}$$
b) $$b = \frac{17}{5} \times \frac{50}{34} \times \frac{3}{10}$$
نلاحظ أن $$34 = 17 \times 2$$ و $$50 = 5 \times 10$$:
$$b = \frac{\cancel{17}}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{5} \times \cancel{10}}{\cancel{17} \times 2} \times \frac{3}{\cancel{10}} = \frac{3}{2}$$
c) $$c = \frac{13}{11} \times (\frac{22}{26} - \frac{1}{2})$$
نحسب ما بداخل القوس. نختزل $$\frac{22}{26} = \frac{11}{13}$$:
$$c = \frac{13}{11} \times (\frac{11}{13} - \frac{1}{2})$$
نوحد المقامات داخل القوس: $$\frac{11 \times 2}{13 \times 2} - \frac{1 \times 13}{2 \times 13} = \frac{22-13}{26} = \frac{9}{26}$$
إذن: $$c = \frac{13}{11} \times \frac{9}{26} = \frac{\cancel{13}}{11} \times \frac{9}{2 \times \cancel{13}} = \frac{9}{22}$$
d) $$d = \frac{-10}{7} \times (\frac{14}{100} - \frac{4}{10})$$
نحسب ما بداخل القوس. $$\frac{4}{10} = \frac{40}{100}$$:
$$d = \frac{-10}{7} \times (\frac{14}{100} - \frac{40}{100}) = \frac{-10}{7} \times (\frac{14-40}{100}) = \frac{-10}{7} \times \frac{-26}{100}$$
نختزل بـ 10: $$d = \frac{-\cancel{10}}{7} \times \frac{-26}{10 \times \cancel{10}} = \frac{-1}{7} \times \frac{-26}{10} = \frac{26}{70}$$
نختزل بالقسمة على 2: $$d=\frac{13}{35}$$
a) $$a = \frac{-8}{15} \times \frac{5}{8} \times 2$$
نلاحظ وجود 8 في البسط و 8 في المقام، فنختزل بهما:
$$a = \frac{-\cancel{8}}{15} \times \frac{5}{\cancel{8}} \times 2 = \frac{-1}{15} \times 5 \times 2 = \frac{-10}{15}$$
نختزل بالقسمة على 5: $$a = \frac{-10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{-2}{3}$$
b) $$b = \frac{17}{5} \times \frac{50}{34} \times \frac{3}{10}$$
نلاحظ أن $$34 = 17 \times 2$$ و $$50 = 5 \times 10$$:
$$b = \frac{\cancel{17}}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{5} \times \cancel{10}}{\cancel{17} \times 2} \times \frac{3}{\cancel{10}} = \frac{3}{2}$$
c) $$c = \frac{13}{11} \times (\frac{22}{26} - \frac{1}{2})$$
نحسب ما بداخل القوس. نختزل $$\frac{22}{26} = \frac{11}{13}$$:
$$c = \frac{13}{11} \times (\frac{11}{13} - \frac{1}{2})$$
نوحد المقامات داخل القوس: $$\frac{11 \times 2}{13 \times 2} - \frac{1 \times 13}{2 \times 13} = \frac{22-13}{26} = \frac{9}{26}$$
إذن: $$c = \frac{13}{11} \times \frac{9}{26} = \frac{\cancel{13}}{11} \times \frac{9}{2 \times \cancel{13}} = \frac{9}{22}$$
d) $$d = \frac{-10}{7} \times (\frac{14}{100} - \frac{4}{10})$$
نحسب ما بداخل القوس. $$\frac{4}{10} = \frac{40}{100}$$:
$$d = \frac{-10}{7} \times (\frac{14}{100} - \frac{40}{100}) = \frac{-10}{7} \times (\frac{14-40}{100}) = \frac{-10}{7} \times \frac{-26}{100}$$
نختزل بـ 10: $$d = \frac{-\cancel{10}}{7} \times \frac{-26}{10 \times \cancel{10}} = \frac{-1}{7} \times \frac{-26}{10} = \frac{26}{70}$$
نختزل بالقسمة على 2: $$d=\frac{13}{35}$$
تمرين عدد 3
أكمل مكان النقاط بالعدد الكسري المناسب:
$$\frac{2}{3} \times \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{2}{3} \times (....+....)$$
$$\frac{5}{7} \times \frac{4}{3} + \frac{5}{7} \times .... = \frac{5}{7} \times (\frac{4}{3}+\frac{1}{3})$$
$$\frac{8}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{5} \times (.... - ....)$$
$$\frac{-5}{7} \times (\frac{6}{4} - \frac{5}{9}) = \frac{-5}{7} \times .... - \frac{-5}{7} \times ....$$
$$\frac{2}{3} \times \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{2}{3} \times (....+....)$$
$$\frac{5}{7} \times \frac{4}{3} + \frac{5}{7} \times .... = \frac{5}{7} \times (\frac{4}{3}+\frac{1}{3})$$
$$\frac{8}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{5} \times (.... - ....)$$
$$\frac{-5}{7} \times (\frac{6}{4} - \frac{5}{9}) = \frac{-5}{7} \times .... - \frac{-5}{7} \times ....$$
شرح الحل التفصيلي
خاصية التوزيعية: نستخدم خاصية التوزيعية للضرب على الجمع والطرح:
$$k \times (a+b) = k \times a + k \times b$$ (توزيع)
$$k \times a + k \times b = k \times (a+b)$$ (تفكيك أو تعميل)
$$k \times (a+b) = k \times a + k \times b$$ (توزيع)
$$k \times a + k \times b = k \times (a+b)$$ (تفكيك أو تعميل)
🔍 التحليل والحلول:
1) $$\frac{2}{3} \times \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{2}{3} \times (\frac{5}{3}+\frac{5}{2})$$
العامل المشترك هو $$\frac{2}{3}$$، لذا الإجابة: $$\frac{5}{3}$$ و $$\frac{5}{2}$$
2) $$\frac{5}{7} \times \frac{4}{3} + \frac{5}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{7} \times (\frac{4}{3}+\frac{1}{3})$$
لكي يكون الطرفان متساويان، يجب أن يكون العدد الناقص هو $$\frac{1}{3}$$
3) $$\frac{8}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{8}{5} = 1 \times \frac{8}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{5} \times (1 - \frac{4}{5})$$
العامل المشترك هو $$\frac{8}{5}$$، لذا الإجابة: $$1$$ و $$\frac{4}{5}$$
4) $$\frac{-5}{7} \times (\frac{6}{4} - \frac{5}{9}) = \frac{-5}{7} \times \frac{6}{4} - \frac{-5}{7} \times \frac{5}{9}$$
هنا نقوم بعملية النشر (التوزيع)، لذا الإجابة: $$\frac{6}{4}$$ و $$\frac{5}{9}$$
1) $$\frac{2}{3} \times \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{2}{3} \times (\frac{5}{3}+\frac{5}{2})$$
العامل المشترك هو $$\frac{2}{3}$$، لذا الإجابة: $$\frac{5}{3}$$ و $$\frac{5}{2}$$
2) $$\frac{5}{7} \times \frac{4}{3} + \frac{5}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{7} \times (\frac{4}{3}+\frac{1}{3})$$
لكي يكون الطرفان متساويان، يجب أن يكون العدد الناقص هو $$\frac{1}{3}$$
3) $$\frac{8}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{8}{5} = 1 \times \frac{8}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{5} \times (1 - \frac{4}{5})$$
العامل المشترك هو $$\frac{8}{5}$$، لذا الإجابة: $$1$$ و $$\frac{4}{5}$$
4) $$\frac{-5}{7} \times (\frac{6}{4} - \frac{5}{9}) = \frac{-5}{7} \times \frac{6}{4} - \frac{-5}{7} \times \frac{5}{9}$$
هنا نقوم بعملية النشر (التوزيع)، لذا الإجابة: $$\frac{6}{4}$$ و $$\frac{5}{9}$$
تمرين عدد 4
احسب الأعداد الكسرية التالية و اختزل إلى أقصى حد:
$$x = \frac{3}{2} \times (\frac{9}{2}-1)$$
$$y = \frac{5}{2} \times (-4+\frac{5}{2})$$
$$z = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \times (\frac{5}{3}-2)$$
$$t = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times (\frac{9}{4}-2)$$
$$x = \frac{3}{2} \times (\frac{9}{2}-1)$$
$$y = \frac{5}{2} \times (-4+\frac{5}{2})$$
$$z = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \times (\frac{5}{3}-2)$$
$$t = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times (\frac{9}{4}-2)$$
شرح الحل التفصيلي
ترتيب العمليات: الأولوية للعمليات داخل الأقواس. نوحد المقامات لإجراء الجمع أو الطرح ثم نضرب.
🎯 الحسابات المفصلة:
x) $$x = \frac{3}{2} \times (\frac{9}{2}-1)$$
$$= \frac{3}{2} \times (\frac{9}{2}-\frac{2}{2}) = \frac{3}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{4}$$
y) $$y = \frac{5}{2} \times (-4+\frac{5}{2})$$
$$= \frac{5}{2} \times (\frac{-8}{2}+\frac{5}{2}) = \frac{5}{2} \times \frac{-3}{2} = \frac{-15}{4}$$
z) $$z = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \times (\frac{5}{3}-2)$$
$$= (\frac{2}{2}) \times (\frac{5}{3}-\frac{6}{3}) = 1 \times \frac{-1}{3} = \frac{-1}{3}$$
t) $$t = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times (\frac{9}{4}-2)$$
$$= (\frac{3}{6} - \frac{2}{6}) \times (\frac{9}{4}-\frac{8}{4}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$$
x) $$x = \frac{3}{2} \times (\frac{9}{2}-1)$$
$$= \frac{3}{2} \times (\frac{9}{2}-\frac{2}{2}) = \frac{3}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{4}$$
y) $$y = \frac{5}{2} \times (-4+\frac{5}{2})$$
$$= \frac{5}{2} \times (\frac{-8}{2}+\frac{5}{2}) = \frac{5}{2} \times \frac{-3}{2} = \frac{-15}{4}$$
z) $$z = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \times (\frac{5}{3}-2)$$
$$= (\frac{2}{2}) \times (\frac{5}{3}-\frac{6}{3}) = 1 \times \frac{-1}{3} = \frac{-1}{3}$$
t) $$t = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times (\frac{9}{4}-2)$$
$$= (\frac{3}{6} - \frac{2}{6}) \times (\frac{9}{4}-\frac{8}{4}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$$
تمرين عدد 5
احسب بطريقتين العبارات العددية التالية:
$$a = \frac{5}{3} \times (3-\frac{11}{2})$$
$$b = -3 \times (\frac{1}{2}-2)$$
$$a = \frac{5}{3} \times (3-\frac{11}{2})$$
$$b = -3 \times (\frac{1}{2}-2)$$
شرح الحل للعبارة a
الطريقة الأولى (الأولوية للأقواس): نحسب أولاً ما بداخل القوسين ثم نضرب.
الطريقة الثانية (النشر): نوزع الضرب على الطرح ثم نحسب.
الطريقة الثانية (النشر): نوزع الضرب على الطرح ثم نحسب.
🔄 للعبارة a:
الطريقة 1:
$$a = \frac{5}{3} \times (3-\frac{11}{2}) = \frac{5}{3} \times (\frac{6}{2}-\frac{11}{2}) = \frac{5}{3} \times (\frac{-5}{2}) = \frac{-25}{6}$$
الطريقة 2:
$$a = \frac{5}{3} \times 3 - \frac{5}{3} \times \frac{11}{2} = \frac{15}{3} - \frac{55}{6} = 5 - \frac{55}{6} = \frac{30}{6} - \frac{55}{6} = \frac{-25}{6}$$
✅ كلتا الطريقتين تعطي نفس النتيجة.
الطريقة 1:
$$a = \frac{5}{3} \times (3-\frac{11}{2}) = \frac{5}{3} \times (\frac{6}{2}-\frac{11}{2}) = \frac{5}{3} \times (\frac{-5}{2}) = \frac{-25}{6}$$
الطريقة 2:
$$a = \frac{5}{3} \times 3 - \frac{5}{3} \times \frac{11}{2} = \frac{15}{3} - \frac{55}{6} = 5 - \frac{55}{6} = \frac{30}{6} - \frac{55}{6} = \frac{-25}{6}$$
✅ كلتا الطريقتين تعطي نفس النتيجة.
شرح الحل للعبارة b
🔄 للعبارة b:
الطريقة 1:
$$b = -3 \times (\frac{1}{2}-2) = -3 \times (\frac{1}{2}-\frac{4}{2}) = -3 \times (\frac{-3}{2}) = \frac{9}{2}$$
الطريقة 2:
$$b = -3 \times \frac{1}{2} - (-3) \times 2 = \frac{-3}{2} - (-6) = \frac{-3}{2} + 6 = \frac{-3}{2} + \frac{12}{2} = \frac{9}{2}$$
✅ كلتا الطريقتين تعطي نفس النتيجة.
الطريقة 1:
$$b = -3 \times (\frac{1}{2}-2) = -3 \times (\frac{1}{2}-\frac{4}{2}) = -3 \times (\frac{-3}{2}) = \frac{9}{2}$$
الطريقة 2:
$$b = -3 \times \frac{1}{2} - (-3) \times 2 = \frac{-3}{2} - (-6) = \frac{-3}{2} + 6 = \frac{-3}{2} + \frac{12}{2} = \frac{9}{2}$$
✅ كلتا الطريقتين تعطي نفس النتيجة.
تمرين عدد 7
انشر و اختصر العبارات التالية حيث $$x \in Q$$:
$$A = 5 \times (\frac{1}{2}x - \frac{2}{5})$$
$$B = 3x (\frac{5}{6}x + 2) - 2(\frac{1}{2}x + 3)$$
$$C = -\frac{5}{2}(4x - \frac{2}{3}) + 3(2x + \frac{1}{6})$$
$$D = (\frac{2}{3} - x) \times (-\frac{1}{5}) + 3x(x+1)$$
$$A = 5 \times (\frac{1}{2}x - \frac{2}{5})$$
$$B = 3x (\frac{5}{6}x + 2) - 2(\frac{1}{2}x + 3)$$
$$C = -\frac{5}{2}(4x - \frac{2}{3}) + 3(2x + \frac{1}{6})$$
$$D = (\frac{2}{3} - x) \times (-\frac{1}{5}) + 3x(x+1)$$
شرح الحل التفصيلي
النشر والاختصار: النشر هو توزيع الضرب على الجمع أو الطرح $$k(a+b)=ka+kb$$. الاختصار هو تجميع الحدود المتشابهة (مثل تجميع كل الحدود التي تحتوي على $$x^2$$ معًا، والحدود التي تحتوي على $$x$$ معًا، والأعداد الثابتة معًا).
📝 الحلول المفصلة:
A) $$A = 5 \times (\frac{1}{2}x) - 5 \times (\frac{2}{5})$$
$$= \frac{5}{2}x - \frac{10}{5} = \frac{5}{2}x - 2$$
B) $$B = (3x \times \frac{5}{6}x + 3x \times 2) - (2 \times \frac{1}{2}x + 2 \times 3)$$
$$= (\frac{15}{6}x^2 + 6x) - (x + 6)$$
$$= \frac{5}{2}x^2 + 6x - x - 6 = \frac{5}{2}x^2 + 5x - 6$$
C) $$C = (-\frac{5}{2} \times 4x - (-\frac{5}{2}) \times \frac{2}{3}) + (3 \times 2x + 3 \times \frac{1}{6})$$
$$= (-10x + \frac{10}{6}) + (6x + \frac{3}{6})$$
$$= -10x + \frac{5}{3} + 6x + \frac{1}{2}$$
$$= (-10x+6x) + (\frac{5}{3}+\frac{1}{2}) = -4x + (\frac{10}{6}+\frac{3}{6}) = -4x + \frac{13}{6}$$
D) $$D = (\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{5}) - x \times (-\frac{1}{5})) + (3x \times x + 3x \times 1)$$
$$= (-\frac{2}{15} + \frac{1}{5}x) + (3x^2 + 3x)$$
$$= 3x^2 + (\frac{1}{5}x + 3x) - \frac{2}{15}$$
$$= 3x^2 + (\frac{1}{5}x + \frac{15}{5}x) - \frac{2}{15} = 3x^2 + \frac{16}{5}x - \frac{2}{15}$$
A) $$A = 5 \times (\frac{1}{2}x) - 5 \times (\frac{2}{5})$$
$$= \frac{5}{2}x - \frac{10}{5} = \frac{5}{2}x - 2$$
B) $$B = (3x \times \frac{5}{6}x + 3x \times 2) - (2 \times \frac{1}{2}x + 2 \times 3)$$
$$= (\frac{15}{6}x^2 + 6x) - (x + 6)$$
$$= \frac{5}{2}x^2 + 6x - x - 6 = \frac{5}{2}x^2 + 5x - 6$$
C) $$C = (-\frac{5}{2} \times 4x - (-\frac{5}{2}) \times \frac{2}{3}) + (3 \times 2x + 3 \times \frac{1}{6})$$
$$= (-10x + \frac{10}{6}) + (6x + \frac{3}{6})$$
$$= -10x + \frac{5}{3} + 6x + \frac{1}{2}$$
$$= (-10x+6x) + (\frac{5}{3}+\frac{1}{2}) = -4x + (\frac{10}{6}+\frac{3}{6}) = -4x + \frac{13}{6}$$
D) $$D = (\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{5}) - x \times (-\frac{1}{5})) + (3x \times x + 3x \times 1)$$
$$= (-\frac{2}{15} + \frac{1}{5}x) + (3x^2 + 3x)$$
$$= 3x^2 + (\frac{1}{5}x + 3x) - \frac{2}{15}$$
$$= 3x^2 + (\frac{1}{5}x + \frac{15}{5}x) - \frac{2}{15} = 3x^2 + \frac{16}{5}x - \frac{2}{15}$$
تمرين عدد 9
فكك إلى جذاء عوامل العبارات التالية حيث $$x \in Q$$:
$$S = (x+2)(\frac{3}{2}x-4) - (x+2)(\frac{5}{3}x+3)$$
$$Y = (2x+1)(\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}) - (2x+1)(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4})$$
$$S = (x+2)(\frac{3}{2}x-4) - (x+2)(\frac{5}{3}x+3)$$
$$Y = (2x+1)(\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}) - (2x+1)(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4})$$
شرح الحل التفصيلي
التفكيك (التعميل): التفكيك هو عكس النشر. نبحث عن عامل مشترك بين الحدود ونضعه خارج قوس. هنا العامل المشترك هو عبارة كاملة بين قوسين.
مثال توضيحي: في العبارة $$5(x+1) + y(x+1)$$، العامل المشترك هو $$(x+1)$$. إذن التفكيك هو $$(x+1)(5+y)$$.
🔧 عمليات التفكيك:
S) العامل المشترك هو $$(x+2)$$
$$S = (x+2) [(\frac{3}{2}x-4) - (\frac{5}{3}x+3)]$$
انتبه عند إزالة القوس المسبوق بعلامة الطرح، نعكس الإشارات بالداخل:
$$S = (x+2) [\frac{3}{2}x-4 - \frac{5}{3}x-3]$$
نجمع الحدود المتشابهة:
$$S = (x+2) [(\frac{3}{2}x - \frac{5}{3}x) + (-4-3)]$$
$$= (x+2) [(\frac{9}{6}x - \frac{10}{6}x) - 7] = (x+2) (-\frac{1}{6}x - 7)$$
Y) العامل المشترك هو $$(2x+1)$$
$$Y = (2x+1) [(\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}) - (\frac{1}{2}x+\frac{5}{4})]$$
$$Y = (2x+1) [\frac{3}{4}x+\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x-\frac{5}{4}]$$
$$Y = (2x+1) [(\frac{3}{4}x - \frac{2}{4}x) + (\frac{10}{4}-\frac{5}{4})]$$
$$= (2x+1) (\frac{1}{4}x + \frac{5}{4})$$
S) العامل المشترك هو $$(x+2)$$
$$S = (x+2) [(\frac{3}{2}x-4) - (\frac{5}{3}x+3)]$$
انتبه عند إزالة القوس المسبوق بعلامة الطرح، نعكس الإشارات بالداخل:
$$S = (x+2) [\frac{3}{2}x-4 - \frac{5}{3}x-3]$$
نجمع الحدود المتشابهة:
$$S = (x+2) [(\frac{3}{2}x - \frac{5}{3}x) + (-4-3)]$$
$$= (x+2) [(\frac{9}{6}x - \frac{10}{6}x) - 7] = (x+2) (-\frac{1}{6}x - 7)$$
Y) العامل المشترك هو $$(2x+1)$$
$$Y = (2x+1) [(\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}) - (\frac{1}{2}x+\frac{5}{4})]$$
$$Y = (2x+1) [\frac{3}{4}x+\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x-\frac{5}{4}]$$
$$Y = (2x+1) [(\frac{3}{4}x - \frac{2}{4}x) + (\frac{10}{4}-\frac{5}{4})]$$
$$= (2x+1) (\frac{1}{4}x + \frac{5}{4})$$
تمرين عدد 10
نعتبر العبارة $$A = \frac{3}{2}(\frac{5}{3}x+2) - \frac{1}{2}(x-1)$$ حيث $$x \in Q$$.
1) بيّن أنّ $$A = 2x + \frac{7}{2}$$.
2) أحسب العبارة A إذا كان $$x = -\frac{1}{4}$$.
3) بيّن أنّ $$A = 2(x+\frac{7}{4})$$.
4) فكك العبارة $$B = (x+\frac{7}{4})(3x-2) + 2x + \frac{7}{2}$$ حيث $$x \in Q$$.
1) بيّن أنّ $$A = 2x + \frac{7}{2}$$.
2) أحسب العبارة A إذا كان $$x = -\frac{1}{4}$$.
3) بيّن أنّ $$A = 2(x+\frac{7}{4})$$.
4) فكك العبارة $$B = (x+\frac{7}{4})(3x-2) + 2x + \frac{7}{2}$$ حيث $$x \in Q$$.
شرح الحل التفصيلي
🧮 الحلول خطوة بخطوة:
1) ننشر العبارة A:
$$A = (\frac{3}{2}\times\frac{5}{3}x) + (\frac{3}{2}\times2) - (\frac{1}{2}\times x) - (\frac{1}{2}\times(-1))$$
$$A = \frac{5}{2}x + 3 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$
$$A = (\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}x) + (3 + \frac{1}{2}) = \frac{4}{2}x + \frac{7}{2} = 2x + \frac{7}{2}$$ ✅
2) نعوض x بقيمته في العبارة المبسطة لـ A:
$$A = 2(-\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} = -\frac{2}{4} + \frac{7}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
3) نأخذ 2 كعامل مشترك من $$A = 2x + \frac{7}{2}$$:
$$A = 2(x) + 2(\frac{7}{4})$$ لأن $$2 \times \frac{7}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$
إذن، $$A = 2(x+\frac{7}{4})$$ ✅
4) لتفكيك B، نلاحظ أن الجزء $$2x+\frac{7}{2}$$ هو نفسه العبارة A:
$$B = (x+\frac{7}{4})(3x-2) + (2x + \frac{7}{2})$$
نعوض A بشكلها المفكك من السؤال 3:
$$B = (x+\frac{7}{4})(3x-2) + 2(x+\frac{7}{4})$$
الآن أصبح لدينا عامل مشترك وهو $$(x+\frac{7}{4})$$:
$$B = (x+\frac{7}{4})[(3x-2) + 2] = (x+\frac{7}{4})(3x)$$
1) ننشر العبارة A:
$$A = (\frac{3}{2}\times\frac{5}{3}x) + (\frac{3}{2}\times2) - (\frac{1}{2}\times x) - (\frac{1}{2}\times(-1))$$
$$A = \frac{5}{2}x + 3 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$
$$A = (\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}x) + (3 + \frac{1}{2}) = \frac{4}{2}x + \frac{7}{2} = 2x + \frac{7}{2}$$ ✅
2) نعوض x بقيمته في العبارة المبسطة لـ A:
$$A = 2(-\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} = -\frac{2}{4} + \frac{7}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
3) نأخذ 2 كعامل مشترك من $$A = 2x + \frac{7}{2}$$:
$$A = 2(x) + 2(\frac{7}{4})$$ لأن $$2 \times \frac{7}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$
إذن، $$A = 2(x+\frac{7}{4})$$ ✅
4) لتفكيك B، نلاحظ أن الجزء $$2x+\frac{7}{2}$$ هو نفسه العبارة A:
$$B = (x+\frac{7}{4})(3x-2) + (2x + \frac{7}{2})$$
نعوض A بشكلها المفكك من السؤال 3:
$$B = (x+\frac{7}{4})(3x-2) + 2(x+\frac{7}{4})$$
الآن أصبح لدينا عامل مشترك وهو $$(x+\frac{7}{4})$$:
$$B = (x+\frac{7}{4})[(3x-2) + 2] = (x+\frac{7}{4})(3x)$$
تمرين عدد 11
1) حدّد مقلوب كل عدد من الأعداد الكسرية التالية: $$-1$$ ; $$\frac{17}{2}$$ ; $$\frac{-5}{4}$$ ; $$\frac{2}{3}$$.
2) أكمل الجدول التالي:
2) أكمل الجدول التالي:
| العدد x | 0,6 | -8 | $$\frac{3}{5}$$ | 3,1 | $$\frac{7}{-6}$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$\frac{1}{x}$$ |
شرح الحل التفصيلي
تعريف المقلوب: مقلوب عدد كسري $$\frac{a}{b}$$ هو $$\frac{b}{a}$$. مقلوب العدد $$x$$ هو $$\frac{1}{x}$$. ولكي نجد مقلوب عدد عشري، نحوله أولاً إلى عدد كسري.
🔄 إيجاد المقلوبات:
1)
• مقلوب $$-1$$ هو $$\frac{1}{-1} = -1$$
• مقلوب $$\frac{17}{2}$$ هو $$\frac{2}{17}$$
• مقلوب $$\frac{-5}{4}$$ هو $$\frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$$
• مقلوب $$\frac{2}{3}$$ هو $$\frac{3}{2}$$
2) إكمال الجدول:
• إذا كان $$x=0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$$
• إذا كان $$x=-8 = \frac{-8}{1}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$$
• إذا كان $$x=\frac{3}{5}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$$
• إذا كان $$x=3,1 = \frac{31}{10}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{10}{31}$$
• إذا كان $$x=\frac{7}{-6}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{-6}{7}$$
1)
• مقلوب $$-1$$ هو $$\frac{1}{-1} = -1$$
• مقلوب $$\frac{17}{2}$$ هو $$\frac{2}{17}$$
• مقلوب $$\frac{-5}{4}$$ هو $$\frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$$
• مقلوب $$\frac{2}{3}$$ هو $$\frac{3}{2}$$
2) إكمال الجدول:
• إذا كان $$x=0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$$
• إذا كان $$x=-8 = \frac{-8}{1}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$$
• إذا كان $$x=\frac{3}{5}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$$
• إذا كان $$x=3,1 = \frac{31}{10}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{10}{31}$$
• إذا كان $$x=\frac{7}{-6}$$، فإن مقلوبه $$\frac{1}{x} = \frac{-6}{7}$$
| العدد x | 0,6 | -8 | $$\frac{3}{5}$$ | 3,1 | $$\frac{7}{-6}$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$\frac{1}{x}$$ | $$\frac{5}{3}$$ | $$-\frac{1}{8}$$ | $$\frac{5}{3}$$ | $$\frac{10}{31}$$ | $$\frac{-6}{7}$$ |
تمرين عدد 13
جد العدد الكسري x في الحالات التالية:
1) $$2x-3=1$$
2) $$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = \frac{-1}{3}$$
3) $$\frac{17}{3} - \frac{4}{3}x = \frac{11}{6}$$
1) $$2x-3=1$$
2) $$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = \frac{-1}{3}$$
3) $$\frac{17}{3} - \frac{4}{3}x = \frac{11}{6}$$
شرح الحل التفصيلي
حل المعادلات: لحل معادلة، نعزل المجهول x في طرف واحد من المعادلة. ننقل الأعداد إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارتها (الجمع يصبح طرحًا والعكس). للتخلص من عدد مضروب في x، نقسم الطرفين عليه.
🎯 حل المعادلات خطوة بخطوة:
1) $$2x-3=1$$
ننقل -3 إلى الطرف الآخر: $$2x = 1+3$$
$$2x=4$$
نقسم الطرفين على 2: $$x = \frac{4}{2} = 2$$
2) $$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = \frac{-1}{3}$$
ننقل $$-\frac{2}{3}$$ إلى الطرف الآخر: $$\frac{1}{3}x = \frac{-1}{3} + \frac{2}{3}$$
$$\frac{1}{3}x = \frac{1}{3}$$
نضرب الطرفين في 3: $$x=1$$
3) $$\frac{17}{3} - \frac{4}{3}x = \frac{11}{6}$$
ننقل $$\frac{17}{3}$$ إلى الطرف الآخر: $$-\frac{4}{3}x = \frac{11}{6} - \frac{17}{3}$$
نوحد المقامات: $$-\frac{4}{3}x = \frac{11}{6} - \frac{34}{6}$$
$$-\frac{4}{3}x = -\frac{23}{6}$$
لإيجاد x، نضرب الطرف الآخر في مقلوب معامل x:
$$x = -\frac{23}{6} \times (-\frac{3}{4}) = \frac{23 \times 3}{6 \times 4} = \frac{23 \times \cancel{3}}{2 \times \cancel{3} \times 4} = \frac{23}{8}$$
1) $$2x-3=1$$
ننقل -3 إلى الطرف الآخر: $$2x = 1+3$$
$$2x=4$$
نقسم الطرفين على 2: $$x = \frac{4}{2} = 2$$
2) $$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = \frac{-1}{3}$$
ننقل $$-\frac{2}{3}$$ إلى الطرف الآخر: $$\frac{1}{3}x = \frac{-1}{3} + \frac{2}{3}$$
$$\frac{1}{3}x = \frac{1}{3}$$
نضرب الطرفين في 3: $$x=1$$
3) $$\frac{17}{3} - \frac{4}{3}x = \frac{11}{6}$$
ننقل $$\frac{17}{3}$$ إلى الطرف الآخر: $$-\frac{4}{3}x = \frac{11}{6} - \frac{17}{3}$$
نوحد المقامات: $$-\frac{4}{3}x = \frac{11}{6} - \frac{34}{6}$$
$$-\frac{4}{3}x = -\frac{23}{6}$$
لإيجاد x، نضرب الطرف الآخر في مقلوب معامل x:
$$x = -\frac{23}{6} \times (-\frac{3}{4}) = \frac{23 \times 3}{6 \times 4} = \frac{23 \times \cancel{3}}{2 \times \cancel{3} \times 4} = \frac{23}{8}$$
تمرين عدد 14
لتكن العبارة $$A = (\frac{2}{3}x+1)(x-\frac{4}{5}) - (x+2)(-\frac{2}{3}x+1)$$ حيث $$x \in Q$$.
1) فكك إلى جذاء عوامل العبارة A.
2) جد العدد x بحيث $$A=0$$.
1) فكك إلى جذاء عوامل العبارة A.
2) جد العدد x بحيث $$A=0$$.
شرح الحل التفصيلي
التفكيك والحل: 1) للتفكيك، نبحث عن عامل مشترك. قد نحتاج لإعادة ترتيب الحدود أو أخذ (-1) كعامل مشترك لإظهاره. 2) لحل معادلة من نوع $$P \times Q = 0$$، الحل هو $$P=0$$ أو $$Q=0$$.
ملاحظة هامة: يوجد خطأ في نص التمرين الأصلي. سنفترض أن العامل الثاني هو $$(\frac{2}{3}x+1)$$ وليس $$(-\frac{2}{3}x+1)$$ لجعل التفكيك ممكناً.
🔧 الحل مع التصحيح:
بافتراض أن $$A = (\frac{2}{3}x+1)(x-\frac{4}{5}) - (x+2)(\frac{2}{3}x+1)$$
1) العامل المشترك هو $$(\frac{2}{3}x+1)$$:
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[(x-\frac{4}{5}) - (x+2)]$$
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[x-\frac{4}{5} - x-2]$$
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[-\frac{4}{5}-2]$$
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[-\frac{4}{5}-\frac{10}{5}] = (\frac{2}{3}x+1)(-\frac{14}{5})$$
2) نستخدم النتيجة المفككة لحل $$A=0$$:
$$(\frac{2}{3}x+1)(-\frac{14}{5}) = 0$$
بما أن $$-\frac{14}{5} \neq 0$$، يجب أن يكون القوس الآخر يساوي صفراً:
$$\frac{2}{3}x+1 = 0$$
$$\frac{2}{3}x = -1$$
$$x = -1 \times \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$$
بافتراض أن $$A = (\frac{2}{3}x+1)(x-\frac{4}{5}) - (x+2)(\frac{2}{3}x+1)$$
1) العامل المشترك هو $$(\frac{2}{3}x+1)$$:
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[(x-\frac{4}{5}) - (x+2)]$$
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[x-\frac{4}{5} - x-2]$$
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[-\frac{4}{5}-2]$$
$$A = (\frac{2}{3}x+1)[-\frac{4}{5}-\frac{10}{5}] = (\frac{2}{3}x+1)(-\frac{14}{5})$$
2) نستخدم النتيجة المفككة لحل $$A=0$$:
$$(\frac{2}{3}x+1)(-\frac{14}{5}) = 0$$
بما أن $$-\frac{14}{5} \neq 0$$، يجب أن يكون القوس الآخر يساوي صفراً:
$$\frac{2}{3}x+1 = 0$$
$$\frac{2}{3}x = -1$$
$$x = -1 \times \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$$
تمرين عدد 20
نعتبر العبارتين A و B حيث $$x \in Q$$:
$$A = (\frac{2}{3}x-1)(\frac{4}{5}x+2) - (\frac{1}{2}-\frac{2}{3}x)(\frac{1}{3}x-\frac{1}{5})$$
$$B = \frac{3}{5}(x-1) - \frac{2}{3}(\frac{3}{5}x-1)$$
$$A = (\frac{2}{3}x-1)(\frac{4}{5}x+2) - (\frac{1}{2}-\frac{2}{3}x)(\frac{1}{3}x-\frac{1}{5})$$
$$B = \frac{3}{5}(x-1) - \frac{2}{3}(\frac{3}{5}x-1)$$
شرح الحل التفصيلي
ملاحظة مهمة: يوجد خطأ في نص التمرين 20 في الورقة الأصلية. لا يمكن الوصول إلى النتيجة $$A=(\frac{2}{3}x-1)(x+1)$$ من خلال تفكيك العبارة المعطاة كما هي مكتوبة.
📋 محاولة حل العبارة B:
تبسيط B: ننشر العبارة B:
$$B = (\frac{3}{5}x - \frac{3}{5}) - (\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}x - \frac{2}{3}\times1)$$
$$B = \frac{3}{5}x - \frac{3}{5} - \frac{2}{5}x + \frac{2}{3}$$
$$B = (\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}x) + (-\frac{3}{5} + \frac{2}{3})$$
$$B = \frac{1}{5}x + (-\frac{9}{15}+\frac{10}{15})$$
$$B = \frac{1}{5}x + \frac{1}{15}$$
حساب B عندما $$x=-\frac{1}{2}$$:
$$B = \frac{1}{5}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{15}$$
$$B = -\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$$
$$B = -\frac{3}{30} + \frac{2}{30} = -\frac{1}{30}$$
تبسيط B: ننشر العبارة B:
$$B = (\frac{3}{5}x - \frac{3}{5}) - (\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}x - \frac{2}{3}\times1)$$
$$B = \frac{3}{5}x - \frac{3}{5} - \frac{2}{5}x + \frac{2}{3}$$
$$B = (\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}x) + (-\frac{3}{5} + \frac{2}{3})$$
$$B = \frac{1}{5}x + (-\frac{9}{15}+\frac{10}{15})$$
$$B = \frac{1}{5}x + \frac{1}{15}$$
حساب B عندما $$x=-\frac{1}{2}$$:
$$B = \frac{1}{5}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{15}$$
$$B = -\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$$
$$B = -\frac{3}{30} + \frac{2}{30} = -\frac{1}{30}$$
ملاحظة: النتيجة المطلوبة لـ B في نص التمرين ($$B=\frac{2}{3}x-1$$) غير صحيحة. الحل الصحيح حسب العبارة المعطاة هو $$B=\frac{1}{5}x+\frac{1}{15}$$.