تمارين رياضيات - مجموعة مختارة بتصميم أنيق

من تمرين عدد 1 (ProduitQ1Exe11)
1. الجدول التالي:
19 -3 -5
6 2 3
الحل: هذه مسألة تحتاج إلى مزيد من المعلومات لتحديد الإجابة الصحيحة.
عادةً في مثل هذه الأسئلة، نبحث عن نمط أو قاعدة تربط بين الأعداد.
2. إذا كان \(a\) و \(b\) عددين كسريين نسبيين حيث \(a-b = b-a\) إذن:
\(a > b\) \(a = b\) \(a \leq b\)
الحل:
\[ a - b = b - a \]
\[ a + a = b + b \]
\[ 2a = 2b \]
\[ a = b \]
الإجابة الصحيحة هي \(a = b\)
3. إذا كان \(A\) و \(B\) و \(C\) نقاط من مستقيم مدرج فاصلاتها على التوالي \(-\frac{5}{4}\) و \(-\frac{4}{3}\) و \(-\frac{6}{5}\) فإن:
\(A \in [BC]\) \(C \in [AB]\) \(B \in [AC]\)
الحل:
أولاً نوحد مقامات الكسور للمقارنة:
المقام المشترك الأصغر للكسور 4 و 3 و 5 هو 60.
\[ A = -\frac{5}{4} = -\frac{5 \times 15}{4 \times 15} = -\frac{75}{60} \]
\[ B = -\frac{4}{3} = -\frac{4 \times 20}{3 \times 20} = -\frac{80}{60} \]
\[ C = -\frac{6}{5} = -\frac{6 \times 12}{5 \times 12} = -\frac{72}{60} \]
نرتب النقاط حسب قيمها من الأصغر إلى الأكبر:
بما أن \( -\frac{80}{60} < -\frac{75}{60} < -\frac{72}{60} \)
إذن: \( B < A < C \)
على مستقيم مدرج، إذا كانت \( B < A < C \)، فإن النقطة \(A\) تقع بين \(B\) و \(C\).
لذلك، النقطة \(C\) تقع بين \(A\) و \(B\) هي الإجابة الصحيحة.
1. احسب العبارات التالية:
\[ J = \left| -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} \times \frac{8}{5} \right| - 0.2 \]
الحل:
\[ J = \left| -\frac{3}{2} + \frac{12}{5} \right| - 0.2 \]
\[ J = \left| -\frac{15}{10} + \frac{24}{10} \right| - 0.2 \]
\[ J = \left| \frac{9}{10} \right| - 0.2 \]
\[ J = \frac{9}{10} - \frac{2}{10} = \frac{7}{10} \]
\[ I = \left( \frac{7}{3} - \frac{3}{4} \right) \times \left( -\frac{5}{6} - \frac{1}{3} \right) \]
الحل:
\[ I = \left( \frac{28}{12} - \frac{9}{12} \right) \times \left( -\frac{5}{6} - \frac{2}{6} \right) \]
\[ I = \frac{19}{12} \times \left( -\frac{7}{6} \right) \]
\[ I = -\frac{133}{72} \]
\[ E = -\left[ \frac{1}{4} - (a+b) \right] - \left( \frac{1}{2} - a \right) \]
الحل:
\[ E = -\frac{1}{4} + (a+b) - \frac{1}{2} + a \]
\[ E = (a + a) + b + \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) \]
\[ E = 2a + b - \frac{3}{4} \]
2. تعتبر العبارتين التاليتين حيث \(b\) و \(a\) عددين كسريين نسبيين
\[ E = 2a + b - \frac{3}{4} \]
(أ) بين أن \(E = a-3\) إذا علمت أن \(a\) و \(b\) متقابلين
الحل:
إذا كان \(a\) و \(b\) متقابلين فإن \(b = -a\):
\[ E = 2a + (-a) - \frac{3}{4} = a - \frac{3}{4} \]
يبدو أن هناك خطأ في السؤال، لأن النتيجة يجب أن تكون \(E = a - 3\)
ربما المقصود أن \(b = -a - \frac{9}{4}\):
\[ E = 2a + \left(-a - \frac{9}{4}\right) - \frac{3}{4} = a - 3 \]
(ب) أوجد \(E\) إذا علمت أن \(E - 2a = 1\)
الحل:
\[ E - 2a = 1 \]
\[ (2a + b - \frac{3}{4}) - 2a = 1 \]
\[ b - \frac{3}{4} = 1 \]
\[ b = \frac{7}{4} \]
بالتعويض في \(E\):
\[ E = 2a + \frac{7}{4} - \frac{3}{4} = 2a + 1 \]
ولكن من المعطى أن \(E - 2a = 1\)، أي أن \(E = 2a + 1\)
من تمرين رقم 2 (ProduitQ1Exe4)

تعتبر العبارتين التاليتين حيث \( x \) عدد كسري نسبي:

\[B = \left( \frac{5}{2} x - 1 \right) (x + 2) \quad \text{و} \quad A = \frac{5}{6} x - \frac{1}{3}\]
\[A = \frac{1}{3} \left( \frac{5}{2} x - 1 \right)\]
ب - حل في \(\mathbb{Q}\) المعادلة \( A = \frac{2}{3} \)
لحل المعادلة \( A = \frac{2}{3} \):
\[ \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
\[ \frac{5}{6}x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \]
\[ \frac{5}{6}x = 1 \]
\[ x = 1 \times \frac{6}{5} = \frac{6}{5} \]
الحل هو \( x = \frac{6}{5} \)
ج - في حالة \( B \) مربع كامل
لكي تكون \( B \) مربعًا كاملاً:
\[ B = \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)(x + 2) \]
يجب أن يكون العاملان متساويين:
\[ \frac{5}{2}x - 1 = x + 2 \]
\[ \frac{5}{2}x - x = 2 + 1 \]
\[ \frac{3}{2}x = 3 \]
\[ x = 2 \]
عند \( x = 2 \):
\[ B = \left( \frac{5}{2} \times 2 - 1 \right)(2 + 2) = (5 - 1)(4) = 16 \]
وهو مربع كامل (\(4^2 = 16\))
\[ B - A = \left( \frac{5}{2} x - 1 \right) \left( x + \frac{5}{3} \right) \]
2 - بين أن المعادلة \( B = A \)
لإثبات أن \( B = A \):
\[ B = \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)(x + 2) \]
\[ A = \frac{1}{3}\left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \]
نضع المعادلة \( B = A \):
\[ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)(x + 2) = \frac{1}{3}\left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \]
ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد:
\[ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)(x + 2) - \frac{1}{3}\left( \frac{5}{2}x - 1 \right) = 0 \]
نعامل العامل المشترك \( \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \):
\[ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \left[ (x + 2) - \frac{1}{3} \right] = 0 \]
\[ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \left( x + 2 - \frac{1}{3} \right) = 0 \]
\[ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \left( x + \frac{5}{3} \right) = 0 \]
إما:
\[ \frac{5}{2}x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} \]
أو:
\[ x + \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3} \]
نفحص الحل \( x = \frac{2}{5} \):
\[ \frac{5}{2} \times \frac{2}{5} - 1 = 0 \]
هذا يجعل طرفي المعادلة الأصلية صفرًا (\(0 = 0\))، لكنه حل تافه.
الحل المقبول هو \( x = -\frac{5}{3} \) حيث:
\[ B = \left( \frac{5}{2} \times -\frac{5}{3} - 1 \right)\left( -\frac{5}{3} + 2 \right) = \left( -\frac{25}{6} - 1 \right)\left( \frac{1}{3} \right) = -\frac{31}{18} \]
\[ A = \frac{1}{3}\left( \frac{5}{2} \times -\frac{5}{3} - 1 \right) = \frac{1}{3}\left( -\frac{25}{6} - 1 \right) = -\frac{31}{18} \]
إذن \( B = A \) عندما \( x = -\frac{5}{3} \)
3 - حل في \(\mathbb{Q}\) المعادلة \( B - A = 0 \)
لحل المعادلة \( B - A = 0 \):
\[ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)\left( x + \frac{5}{3} \right) = 0 \]
إما:
\[ \frac{5}{2}x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} \]
أو:
\[ x + \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3} \]
الحلول هي \( x = \frac{2}{5} \) و \( x = -\frac{5}{3} \)
ملاحظة: الحل \( x = \frac{2}{5} \) يجعل \( \frac{5}{2}x - 1 = 0 \) وبالتالي \( B = A = 0 \)