العبارة المعطاة F:
$$F = \frac{5}{9}x - \frac{1}{3} - \left(\frac{7}{3}x - 2\right)\left(\frac{10}{3}x - 2\right)$$
السؤال الأول: انشر واختصر العبارة F
🔍 الحل التفصيلي:
نشر القوسين:
$$\left(\frac{7}{3}x - 2\right)\left(\frac{10}{3}x - 2\right)$$
$$= \frac{7}{3}x \times \frac{10}{3}x - \frac{7}{3}x \times 2 - 2 \times \frac{10}{3}x + 2 \times 2$$
$$= \frac{70}{9}x^2 - \frac{14}{3}x - \frac{20}{3}x + 4$$
$$= \frac{70}{9}x^2 - \frac{34}{3}x + 4$$
تعويض في العبارة F:
$$F = \frac{5}{9}x - \frac{1}{3} - \left(\frac{70}{9}x^2 - \frac{34}{3}x + 4\right)$$
$$F = \frac{5}{9}x - \frac{1}{3} - \frac{70}{9}x^2 + \frac{34}{3}x - 4$$
$$F = -\frac{70}{9}x^2 + \frac{5}{9}x + \frac{34}{3}x - \frac{1}{3} - 4$$
$$F = -\frac{70}{9}x^2 + \frac{5 + 102}{9}x - \frac{13}{3}$$
$$F = -\frac{70}{9}x^2 + \frac{107}{9}x - \frac{13}{3}$$
$$F = -\frac{70}{9}x^2 + \frac{107}{9}x - \frac{13}{3}$$
السؤال الثاني: احسب F إذا علمت أن x = 1/5
🔍 الحل التفصيلي:
التعويض في العبارة المبسطة:
$$F = -\frac{70}{9}x^2 + \frac{107}{9}x - \frac{13}{3}$$
مع $$x = \frac{1}{5}$$:
$$F = -\frac{70}{9} \times \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{107}{9} \times \frac{1}{5} - \frac{13}{3}$$
$$F = -\frac{70}{9} \times \frac{1}{25} + \frac{107}{45} - \frac{13}{3}$$
$$F = -\frac{70}{225} + \frac{107}{45} - \frac{13}{3}$$
$$F = -\frac{14}{45} + \frac{107}{45} - \frac{195}{45}$$
$$F = \frac{-14 + 107 - 195}{45} = \frac{-102}{45} = -\frac{34}{15}$$
$$F = -\frac{34}{15}$$
السؤال الثالث: فكك إلى جداء عوامل العبارة 5x/9 - 1/3
🔍 الحل التفصيلي:
إخراج العامل المشترك:
$$\frac{5}{9}x - \frac{1}{3}$$
توحيد المقامات:
$$= \frac{5x}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5x - 3}{9}$$
إخراج العامل المشترك:
$$= \frac{1}{9}(5x - 3)$$
$$\frac{5}{9}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{9}(5x - 3)$$
السؤال الرابع: تبين أن F = (5x/3 - 1)(13/3 - 14x/3)
🔍 الحل التفصيلي:
نشر التفكيك المقترح:
$$\left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left(\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x\right)$$
$$= \frac{5}{3}x \times \frac{13}{3} - \frac{5}{3}x \times \frac{14}{3}x - 1 \times \frac{13}{3} + 1 \times \frac{14}{3}x$$
$$= \frac{65}{9}x - \frac{70}{9}x^2 - \frac{13}{3} + \frac{14}{3}x$$
$$= -\frac{70}{9}x^2 + \frac{65}{9}x + \frac{14}{3}x - \frac{13}{3}$$
$$= -\frac{70}{9}x^2 + \frac{65 + 42}{9}x - \frac{13}{3}$$
$$= -\frac{70}{9}x^2 + \frac{107}{9}x - \frac{13}{3}$$
هذا يطابق تماماً العبارة F المبسطة! ✓
$$F = \left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left(\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x\right)$$
السؤال الخامس
أ) انشر العبارة E = 6x(5x/3 - 1)
ب) فكك إلى جداء العبارة G = F + 10x²/3 - 2x
🔍 الحل التفصيلي:
أ) نشر العبارة E:
$$E = 6x\left(\frac{5}{3}x - 1\right)$$
$$E = 6x \times \frac{5}{3}x - 6x \times 1$$
$$E = \frac{30}{3}x^2 - 6x$$
$$E = 10x^2 - 6x$$
$$E = 10x^2 - 6x$$
ب) تفكيك العبارة G:
$$G = F + \frac{10}{3}x^2 - 2x$$
$$G = -\frac{70}{9}x^2 + \frac{107}{9}x - \frac{13}{3} + \frac{10}{3}x^2 - 2x$$
$$G = x^2\left(-\frac{70}{9} + \frac{30}{9}\right) + x\left(\frac{107}{9} - 2\right) - \frac{13}{3}$$
$$G = x^2\left(-\frac{40}{9}\right) + x\left(\frac{107 - 18}{9}\right) - \frac{13}{3}$$
$$G = -\frac{40}{9}x^2 + \frac{89}{9}x - \frac{13}{3}$$
لنحاول التفكيك بطريقة أخرى:
$$G = F + \frac{10}{3}x^2 - 2x$$
باستخدام التفكيك المعروف لـ F:
$$G = \left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left(\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x\right) + \frac{10}{3}x^2 - 2x$$
السؤال السادس: حل في Q المعادلات
أ) F = 0
ب) E = F
ج) E و F متقايلان
🔍 الحل التفصيلي:
أ) حل F = 0:
$$\left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left(\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x\right) = 0$$
إما: $$\frac{5}{3}x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$$
أو: $$\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x = 0 \Rightarrow \frac{14}{3}x = \frac{13}{3} \Rightarrow x = \frac{13}{14}$$
$$x = \frac{3}{5} \text{ أو } x = \frac{13}{14}$$
ب) حل E = F:
$$E = F \Rightarrow E - F = 0$$
نعوض قيم E و F:
$$E - F = 10x^2 - 6x - \left[\left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left(\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x\right)\right]$$
نعلم أن: $$E = 10x^2 - 6x = 6x\left(\frac{5}{3}x - 1\right)$$
إذن:
$$E - F = 6x\left(\frac{5}{3}x - 1\right) - \left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left(\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x\right)$$
نخرج العامل المشترك $$\left(\frac{5}{3}x - 1\right)$$:
$$E - F = \left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left[6x - \left(\frac{13}{3} - \frac{14}{3}x\right)\right]$$
$$= \left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left[6x - \frac{13}{3} + \frac{14}{3}x\right]$$
$$= \left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left[\frac{18x + 14x}{3} - \frac{13}{3}\right]$$
$$= \left(\frac{5}{3}x - 1\right)\left[\frac{32x - 13}{3}\right]$$
$$= \frac{1}{3}\left(\frac{5}{3}x - 1\right)(32x - 13)$$
من $$E - F = 0$$:
$$\frac{1}{3}\left(\frac{5}{3}x - 1\right)(32x - 13) = 0$$
إما: $$\frac{5}{3}x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$$
أو: $$32x - 13 = 0 \Rightarrow x = \frac{13}{32}$$
$$x = \frac{3}{5} \text{ أو } x = \frac{13}{32}$$
ج) E و F متقايلان:
E و F متقايلان يعني: $$E = -F$$
$$E + F =0 $$
السؤال السابع: مسألة هندسية
مستطيلان ABCD و MNPQ بحيث:
MN = (5/3)x - 1 و MP = 1 و AB = (7/3)x - 2
AD = MN و S مساحة المستطيل MNPQ و S' مساحة ABCD
أوجد x إذا علمت أن S = 2S'
🔍 الحل التفصيلي:
حساب المساحات:
مساحة المستطيل MNPQ:
$$S = MN \times MP = \left(\frac{5}{3}x - 1\right) \times 1 = \frac{5}{3}x - 1$$
مساحة المستطيل ABCD:
$$S' = AB \times AD = \left(\frac{7}{3}x - 2\right) \times \left(\frac{5}{3}x - 1\right)$$
تطبيق الشرط S = 2S':
$$\frac{5}{3}x - 1 = 2 \times \left(\frac{7}{3}x - 2\right) \times \left(\frac{5}{3}x - 1\right)$$
$$\frac{5}{3}x - 1 = 2\left(\frac{7}{3}x - 2\right)\left(\frac{5}{3}x - 1\right)$$
بقسمة على $$\left(\frac{5}{3}x - 1\right)$$ (إذا كان ≠ 0):
$$1 = 2\left(\frac{7}{3}x - 2\right)$$
$$1 = \frac{14}{3}x - 4$$
$$\frac{14}{3}x = 5$$
$$x = \frac{15}{14}$$
$$x = \frac{15}{14}$$
التحقق:
مع $$x = \frac{15}{14}$$:
$$MN = \frac{5}{3} \times \frac{15}{14} - 1 = \frac{25}{14} - 1 = \frac{11}{14}$$
$$AB = \frac{7}{3} \times \frac{15}{14} - 2 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$$
$$S = \frac{11}{14}$$
$$S' = \frac{1}{2} \times \frac{11}{14} = \frac{11}{28}$$
$$2S' = 2 \times \frac{11}{28} = \frac{11}{14} = S$$ ✓