✖️ الضرب والقسمة في ℚ

العمليات في مجموعة الأعداد النسبية

السنة الثامنة أساسي
تمرين 1: ضرب الكسور مع الإشارات

احسب ثم بسط:

$-\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}$
$\frac{4}{9} \times \left(-\frac{3}{8}\right)$
$-\frac{5}{6} \times \left(-\frac{4}{15}\right)$
$\frac{7}{12} \times \left(-\frac{6}{14}\right)$
🎯 الحل التفصيلي

قواعد الإشارات:

(+) × (+) = (+)
(-) × (-) = (+)
(+) × (-) = (-)
1) $-\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = -\frac{2 \times 5}{3 \times 7} = -\frac{10}{21}$
2) $\frac{4}{9} \times \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{4 \times 3}{9 \times 8} = -\frac{12}{72} = -\frac{1}{6}$
3) $-\frac{5}{6} \times \left(-\frac{4}{15}\right) = \frac{5 \times 4}{6 \times 15} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$ (سالب × سالب = موجب)
4) $\frac{7}{12} \times \left(-\frac{6}{14}\right) = -\frac{7 \times 6}{12 \times 14} = -\frac{42}{168} = -\frac{1}{4}$
تمرين 2: قسمة الكسور مع الإشارات

احسب (اقلب واضرب):

$\frac{3}{4} \div \left(-\frac{2}{5}\right)$
$-\frac{7}{9} \div \frac{14}{3}$
$-\frac{5}{8} \div \left(-\frac{10}{16}\right)$
$\frac{2}{3} \div \left(-\frac{4}{9}\right)$
🎯 الحل التفصيلي

القاعدة الذهبية:

القسمة = الضرب في المقلوب

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

1) $\frac{3}{4} \div \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{3}{4} \times \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{15}{8}$
2) $-\frac{7}{9} \div \frac{14}{3} = -\frac{7}{9} \times \frac{3}{14} = -\frac{21}{126} = -\frac{1}{6}$
3) $-\frac{5}{8} \div \left(-\frac{10}{16}\right) = -\frac{5}{8} \times \left(-\frac{16}{10}\right) = \frac{80}{80} = 1$
4) $\frac{2}{3} \div \left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{2}{3} \times \left(-\frac{9}{4}\right) = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
تمرين 3: عمليات مركبة (ضرب وقسمة)

احسب:

$\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{4}\right) \div \frac{1}{6}$
$-\frac{3}{7} \div \frac{2}{5} \times \left(-\frac{10}{9}\right)$
$\frac{4}{5} \times \left(-\frac{15}{8}\right) \div \left(-\frac{3}{2}\right)$
🎯 الحل التفصيلي
1) $\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{4}\right) \div \frac{1}{6} = -\frac{10}{12} \times \frac{6}{1} = -\frac{60}{12} = -5$
2) $-\frac{3}{7} \div \frac{2}{5} \times \left(-\frac{10}{9}\right) = -\frac{3}{7} \times \frac{5}{2} \times \left(-\frac{10}{9}\right) = \frac{150}{126} = \frac{25}{21}$
3) $\frac{4}{5} \times \left(-\frac{15}{8}\right) \div \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{60}{40} \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{120}{120} = 1$
تمرين 4: القوى والمربعات

احسب:

$\left(-\frac{2}{3}\right)^2$
$\left(-\frac{1}{5}\right)^3$
$\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(-\frac{2}{3}\right)$
$\left(-\frac{2}{5}\right)^2 \div \frac{4}{25}$
🎯 الحل التفصيلي

⚠️ انتبه!

قوة زوجية لعدد سالب → موجب

قوة فردية لعدد سالب → سالب

1) $\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{(-2)^2}{3^2} = \frac{4}{9}$ (موجب لأن دليل القوة زوجي)
2) $\left(-\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{(-1)^3}{5^3} = -\frac{1}{125}$ (سالب لأن دليل القوة فردي)
3) $\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{9}{16} \times \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{18}{48} = -\frac{3}{8}$
4) $\left(-\frac{2}{5}\right)^2 \div \frac{4}{25} = \frac{4}{25} \div \frac{4}{25} = 1$
تمرين 5: المقلوب والنظير الضربي

أوجد المقلوب ثم تحقق:

المقلوب لـ $-\frac{3}{7}$
المقلوب لـ $\frac{5}{8}$
المقلوب لـ $-4$
حل المعادلة: $-\frac{2}{5} \times x = 1$
🎯 الحل التفصيلي

التعريف:

مقلوب $\frac{a}{b}$ هو $\frac{b}{a}$

الخاصية: $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$

1) مقلوب $-\frac{3}{7}$ هو $-\frac{7}{3}$
التحقق: $-\frac{3}{7} \times \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{21}{21} = 1$ ✓
2) مقلوب $\frac{5}{8}$ هو $\frac{8}{5}$
التحقق: $\frac{5}{8} \times \frac{8}{5} = \frac{40}{40} = 1$ ✓
3) $-4 = -\frac{4}{1}$ → المقلوب = $-\frac{1}{4}$
التحقق: $-4 \times \left(-\frac{1}{4}\right) = 1$ ✓
4) $-\frac{2}{5} \times x = 1$ → $x = 1 \div \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{5}{2}$
تمرين 6: تبسيط تعابير جبرية

بسط التعابير التالية:

$\frac{2}{3}x \times \left(-\frac{9}{4}\right)$
$-\frac{5}{7}a \div \frac{10}{21}$
$\left(-\frac{3}{5}x\right)^2$
$\frac{4}{9}y \times \left(-\frac{3}{8}\right) \times 6y$
🎯 الحل التفصيلي
1) $\frac{2}{3}x \times \left(-\frac{9}{4}\right) = -\frac{18}{12}x = -\frac{3}{2}x$
2) $-\frac{5}{7}a \div \frac{10}{21} = -\frac{5}{7}a \times \frac{21}{10} = -\frac{105}{70}a = -\frac{3}{2}a$
3) $\left(-\frac{3}{5}x\right)^2 = \frac{9}{25}x^2$
4) $\frac{4}{9}y \times \left(-\frac{3}{8}\right) \times 6y = -\frac{72}{72}y^2 = -y^2$
تمرين 7: مسائل تطبيقية

📚 مسألة 1:

إذا كان $\frac{2}{5}$ من عدد يساوي $-\frac{4}{3}$، ما هو هذا العدد؟

📚 مسألة 2:

قطعة قماش طولها $\frac{15}{4}$ متر. قُطعت منها $\frac{3}{8}$ من طولها. ما هو طول القطعة المتبقية؟

📚 مسألة 3:

انخفضت درجة الحرارة بمقدار $\frac{3}{4}$ درجة كل ساعة لمدة 6 ساعات. ما هو الانخفاض الكلي؟

🎯 الحل التفصيلي
مسألة 1:
نفرض العدد = $x$
$\frac{2}{5} \times x = -\frac{4}{3}$
$x = -\frac{4}{3} \div \frac{2}{5} = -\frac{4}{3} \times \frac{5}{2} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}$
مسألة 2:
القطعة المقطوعة: $\frac{15}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{45}{32}$ متر
المتبقي: $\frac{15}{4} - \frac{45}{32} = \frac{120}{32} - \frac{45}{32} = \frac{75}{32}$ متر
مسألة 3:
الانخفاض الكلي: $\frac{3}{4} \times 6 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$ درجة
(نعبر عنه بعدد سالب: $-4.5°$ لأنه انخفاض)
تمرين 8: حل معادلات في ℚ

حل المعادلات التالية:

$-\frac{3}{5}x = \frac{9}{10}$
$\frac{2}{7}x + \frac{1}{3} = -\frac{5}{21}$
$\frac{4}{9}x \times \left(-\frac{3}{2}\right) = 2$
$\left(\frac{2}{5}x\right)^2 = \frac{4}{25}$
🎯 الحل التفصيلي
1) $-\frac{3}{5}x = \frac{9}{10}$
$x = \frac{9}{10} \div \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{9}{10} \times \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{45}{30} = -\frac{3}{2}$
2) $\frac{2}{7}x + \frac{1}{3} = -\frac{5}{21}$
$\frac{2}{7}x = -\frac{5}{21} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{21} - \frac{7}{21} = -\frac{12}{21} = -\frac{4}{7}$
$x = -\frac{4}{7} \div \frac{2}{7} = -\frac{4}{7} \times \frac{7}{2} = -2$
3) $\frac{4}{9}x \times \left(-\frac{3}{2}\right) = 2$
$-\frac{12}{18}x = 2$ → $-\frac{2}{3}x = 2$
$x = 2 \div \left(-\frac{2}{3}\right) = 2 \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -3$
4) $\left(\frac{2}{5}x\right)^2 = \frac{4}{25}$
$\frac{4}{25}x^2 = \frac{4}{25}$ → $x^2 = 1$
$x = 1$ أو $x = -1$