🔄
الخاصية التبديلية
ناتج ضرب عددين ناطقين لا يتغير بتغيير ترتيبهما
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$$
تعني هذه الخاصية أنه يمكننا ضرب الأعداد الناطقة بأي ترتيب نريده دون أن يتغير الناتج.
🔢 مثال 1
2/3 × 4/5 = 8/15
4/5 × 2/3 = 8/15
الناتج هو نفسه في كلا الحالتين
🔢 مثال 2
(-3/7) × (5/2) = -15/14
(5/2) × (-3/7) = -15/14
حتى مع الإشارات السالبة
برهان بصري
الخطوة 1:
نأخذ a/b × c/d
الخطوة 2:
= (a×c)/(b×d)
الخطوة 3:
= (c×a)/(d×b)
الخطوة 4:
= c/d × a/b
🔗
الخاصية التجميعية
عند ضرب ثلاثة أعداد ناطقة، يمكن تجميعها بأي طريقة دون تغيير الناتج
$$\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \times \left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right)$$
هذه الخاصية تسمح لنا بإعادة ترتيب الأقواس في العمليات الحسابية المعقدة.
🔢 مثال توضيحي
(1/2 × 2/3) × 3/4
= (2/6) × 3/4 = 1/3 × 3/4 = 3/12 = 1/4
1/2 × (2/3 × 3/4)
= 1/2 × (6/12) = 1/2 × 1/2 = 1/4
النتيجة متطابقة في الحالتين
🆔
العنصر المحايد (1)
العدد 1 هو العنصر المحايد للضرب في Q
$$\frac{a}{b} \times 1 = 1 \times \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$$
عند ضرب أي عدد ناطق في العدد 1، يبقى العدد كما هو دون تغيير.
🔢 أمثلة متنوعة
3/4 × 1 = 3/4
1 × (-2/5) = -2/5
7/3 × 1 = 7/3
العدد يبقى كما هو
🎯 نقاط مهمة:
العنصر المحايد وحيد في مجموعة الأعداد الناطقة
العدد 1 يمكن كتابته بأشكال مختلفة: 1 = 2/2 = 3/3 = -4/-4
خاصية العنصر المحايد تبديلية: a×1 = 1×a
↔️
العنصر المقابل (المقلوب الضربي)
لكل عدد ناطق غير معدوم يوجد مقلوب ضربي بحيث ناتج ضربهما يساوي 1
$$\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \quad (a \neq 0, b \neq 0)$$
المقلوب الضربي للعدد a/b هو b/a، وناتج ضربهما دائماً يساوي 1.
🔢 أمثلة على المقلوب الضربي
2/3 × 3/2 = 6/6 = 1
(-4/5) × (-5/4) = 20/20 = 1
7 × (1/7) = 7/7 = 1
كل عدد مضروب في مقلوبه = 1
⚠️ تنبيهات مهمة:
الصفر ليس له مقلوب ضربي
المقلوب الضربي للعدد 1 هو 1 نفسه
المقلوب الضربي للعدد -1 هو -1 نفسه