✖️ كيف نضرب كسرين؟
القاعدة الأساسية:
نضرب البسوط مع بعضها والمقامات مع بعضها
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$
مثال 1:
$$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}$$
مثال 2:
$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$
(نبسط النتيجة)
ملاحظة:
الضرب في الكسور أسهل من الجمع (لا حاجة لتوحيد المقامات)
سهل
📝 أمثلة على ضرب الكسور
مثال 1:
$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$
مثال 2:
$$\frac{4}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$$
مثال 3:
$$\frac{7}{9} \times \frac{3}{14} = \frac{21}{126} = \frac{1}{6}$$
مثال 4: نتيجة = 1
$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$$
سهل
🔄 تبسيط قبل الضرب
الطريقة الذكية:
نبسط قبل الضرب لتسهيل الحساب
مثال: $$\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$$
الطريقة العادية:
$$\frac{12}{72} = \frac{1}{6}$$
الطريقة الذكية:
نبسط 4 و 8 (÷4) و 3 و 9 (÷3):
$$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$
القاعدة:
يمكن تبسيط بسط مع مقام من أي كسر
متوسط
🔢 ضرب كسر في عدد صحيح
الطريقة:
نكتب العدد الصحيح ككسر (مقامه 1)
$$\frac{a}{b} \times n = \frac{a}{b} \times \frac{n}{1} = \frac{a \times n}{b}$$
مثال 1:
$$\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5}$$
مثال 2:
$$4 \times \frac{3}{7} = \frac{4 \times 3}{7} = \frac{12}{7}$$
طريقة سريعة:
نضرب البسط في العدد ونبقي المقام
سهل
➕ موجب × موجب
القاعدة:
حاصل ضرب عددين موجبين = موجب
$$(+) \times (+) = (+)$$
أمثلة:
- $$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$$ (موجب)
- $$\frac{1}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{32}$$ (موجب)
سهل
➖ سالب × سالب
القاعدة:
حاصل ضرب عددين سالبين = موجب
$$(-) \times (-) = (+)$$
أمثلة:
- $$-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{7}\right) = \frac{10}{21}$$
- $$-\frac{1}{4} \times \left(-\frac{3}{8}\right) = \frac{3}{32}$$
تذكر:
السالب مع السالب يعطي موجب!
سهل
⚡ موجب × سالب
القاعدة:
حاصل ضرب موجب × سالب = سالب
$$(+) \times (-) = (-)$$
$$(-) \times (+) = (-)$$
أمثلة:
- $$\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{10}{21}$$
- $$-\frac{1}{4} \times \frac{3}{8} = -\frac{3}{32}$$
سهل
🔄 ما هو المقلوب؟
التعريف:
مقلوب الكسر $$\frac{a}{b}$$ هو $$\frac{b}{a}$$
نقلب البسط والمقام
الخاصية الأساسية:
$$\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$$
أمثلة:
- مقلوب $$\frac{3}{5}$$ هو $$\frac{5}{3}$$
- مقلوب $$\frac{7}{2}$$ هو $$\frac{2}{7}$$
- مقلوب $$-\frac{4}{9}$$ هو $$-\frac{9}{4}$$
سهل
📐 كيف نجد المقلوب؟
للكسر الاعتيادي:
نقلب فقط
$$\text{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{b}{a}$$
للعدد الصحيح:
نكتبه ككسر ثم نقلب
$$\text{inv}(5) = \text{inv}\left(\frac{5}{1}\right) = \frac{1}{5}$$
للعدد السالب:
الإشارة تبقى
$$\text{inv}\left(-\frac{3}{7}\right) = -\frac{7}{3}$$
التحقق:
نضرب العدد في مقلوبه يجب أن نحصل على 1
متوسط
⚠️ حالات خاصة للمقلوب
الحالة 1: مقلوب 1
$$\text{inv}(1) = \frac{1}{1} = 1$$
العدد 1 هو مقلوب نفسه
الحالة 2: مقلوب -1
$$\text{inv}(-1) = -\frac{1}{1} = -1$$
الحالة 3: مقلوب الصفر
⚠️ الصفر ليس له مقلوب!
لأن $$\frac{1}{0}$$ غير معرف
الحالة 4: مقلوب المقلوب
$$\text{inv}(\text{inv}(x)) = x$$
متوسط
➗ كيف نقسم كسرين؟
القاعدة الذهبية:
القسمة = الضرب في المقلوب
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$
الخطوات:
- نحتفظ بالكسر الأول كما هو
- نحول ÷ إلى ×
- نقلب الكسر الثاني
- نضرب
مثال:
$$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$$
متوسط
🎯 أمثلة على القسمة
مثال 1:
$$\frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{2}$$
مثال 2:
$$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$$
مثال 3: مع تبسيط
$$\frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$
مثال 4:
$$\frac{5}{6} \div \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = 1$$
(أي عدد ÷ نفسه = 1)
متوسط
🔄 قسمة كسر على عدد صحيح
الطريقة:
نحول العدد الصحيح إلى كسر ثم نضرب في المقلوب
مثال 1:
$$\frac{3}{5} \div 2 = \frac{3}{5} \div \frac{2}{1} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$
مثال 2:
$$\frac{7}{8} \div 3 = \frac{7}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{24}$$
طريقة سريعة:
نضرب المقام في العدد الصحيح
$$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \times n}$$
متوسط
📊 قسمة عدد صحيح على كسر
الطريقة:
نضرب العدد الصحيح في مقلوب الكسر
مثال 1:
$$6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
مثال 2:
$$4 \div \frac{1}{2} = 4 \times 2 = 8$$
ملاحظة:
القسمة على $$\frac{1}{2}$$ = الضرب في 2
القسمة على كسر أصغر من 1 تعطي عدداً أكبر!
متوسط
⚠️ القسمة مع أعداد سالبة
نفس قواعد الإشارات في الضرب:
- $$(+) \div (+) = (+)$$
- $$(-) \div (-) = (+)$$
- $$(+) \div (-) = (-)$$
- $$(-) \div (+) = (-)$$
مثال 1:
$$-\frac{2}{3} \div \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$
مثال 2:
$$\frac{3}{7} \div \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{3}{7} \times \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{15}{14}$$
صعب
² ما هي قوة الكسر؟
التعريف:
القوة = ضرب العدد في نفسه عدة مرات
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
القاعدة:
نرفع البسط والمقام للقوة نفسها
أمثلة:
- $$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$$
- $$\left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$$
متوسط
🎲 حساب المربعات
التعريف:
المربع = القوة 2
$$\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b}$$
أمثلة:
مثال 1:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
مثال 2:
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$$
مثال 3:
$$\left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}$$
خاصية:
مربع أي عدد (موجب أو سالب) دائماً موجب
سهل
³ القوى الأخرى
القوة 3 (المكعب):
$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$$
القوة 0:
أي عدد (غير الصفر) أس 0 = 1
$$\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1$$ (حيث $$\frac{a}{b} \neq 0$$)
القوة 1:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b}$$
أمثلة:
- $$\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$$
- $$\left(\frac{5}{2}\right)^0 = 1$$
- $$\left(\frac{3}{7}\right)^1 = \frac{3}{7}$$
متوسط
➖ قوى الأعداد السالبة
القاعدة المهمة:
- قوة زوجية لعدد سالب → موجب
- قوة فردية لعدد سالب → سالب
قوة زوجية (موجب):
$$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ (موجب)
$$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$$ (موجب)
قوة فردية (سالب):
$$\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$$ (سالب)
$$\left(-\frac{2}{3}\right)^5 = -\frac{32}{243}$$ (سالب)
صعب
🔁 الخاصية التبديلية
التعريف:
ترتيب الضرب لا يغير النتيجة
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$$
مثال:
$$\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{35}$$
ملاحظة:
القسمة ليست تبديلية!
$$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} \neq \frac{5}{7} \div \frac{2}{3}$$
سهل
🔗 الخاصية التجميعية
التعريف:
طريقة التجميع لا تغير النتيجة
$$\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \times \left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right)$$
مثال:
$$\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right) \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\right)$$
كلاهما = $$\frac{1}{4}$$
متوسط
1️⃣ العنصر المحايد
التعريف:
1 هو العنصر المحايد في الضرب
$$\frac{a}{b} \times 1 = 1 \times \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$$
أمثلة:
$$\frac{3}{5} \times 1 = \frac{3}{5}$$
$$1 \times \left(-\frac{2}{7}\right) = -\frac{2}{7}$$
خاصية:
العدد 1 هو الوحيد الذي لا يغير قيمة العدد عند الضرب
سهل
📐 التوزيعية
القاعدة:
الضرب يتوزع على الجمع والطرح
$$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$
مثال مع كسور:
$$\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$$
$$= \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$
مثال مع طرح:
$$\frac{2}{3} \times \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{6} - \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}$$
صعب
📝 عمليات مركبة
مثال 1: ضرب ثم جمع
$$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$$
مثال 2: قسمة ثم طرح
$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$$
ترتيب العمليات:
- الأقواس أولاً
- القوى
- الضرب والقسمة (من اليسار لليمين)
- الجمع والطرح (من اليسار لليمين)
صعب
🧮 تبسيط تعابير
مثال 1:
$$\frac{2}{3}x \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4}x = \frac{1}{2}x$$
مثال 2:
$$\left(\frac{1}{5}x\right) \div \frac{2}{3} = \frac{1}{5}x \times \frac{3}{2} = \frac{3}{10}x$$
مثال 3: مع قوى
$$\left(\frac{2}{5}x\right)^2 = \frac{4}{25}x^2$$
صعب
📚 مسائل كلامية - 1
مسألة 1:
ما هي $$\frac{2}{3}$$ من 12 تفاحة؟
الحل:
$$\frac{2}{3} \times 12 = \frac{24}{3} = 8$$
الجواب: 8 تفاحات
مسألة 2:
قطعت سيارة $$\frac{3}{4}$$ من مسافة. إذا كانت المسافة الكلية 120 كم، كم قطعت؟
الحل:
$$\frac{3}{4} \times 120 = 90 \text{ كم}$$
متوسط
📖 مسائل كلامية - 2
مسألة 3:
إذا كان $$\frac{2}{5}$$ من عدد يساوي 8، ما هو العدد؟
الحل:
$$x \times \frac{2}{5} = 8$$
$$x = 8 \div \frac{2}{5} = 8 \times \frac{5}{2} = 20$$
مسألة 4:
في صف 40 تلميذاً، $$\frac{3}{8}$$ منهم بنات. كم عدد الأولاد؟
الحل:
البنات: $$\frac{3}{8} \times 40 = 15$$
الأولاد: $$40 - 15 = 25$$
صعب
💡 نصائح وحيل
نصيحة 1: تبسيط قبل الضرب
أسهل من التبسيط بعد الضرب
نصيحة 2: احفظ المقلوبات
- مقلوب $$\frac{1}{2}$$ = 2
- مقلوب $$\frac{1}{3}$$ = 3
- مقلوب $$\frac{1}{4}$$ = 4
نصيحة 3: قواعد الإشارات
متشابهة → موجب، مختلفة → سالب
نصيحة 4: للقسمة
تذكر دائماً: "اقلب واضرب"
سهل
🎓 ملخص القواعد
1. الضرب:
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$
2. القسمة:
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$
3. المقلوب:
$$\text{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{b}{a}$$
4. القوى:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
6. الخصائص:
- تبديلية: $$a \times b = b \times a$$
- تجميعية: $$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$
- محايد: $$a \times 1 = a$$
- توزيعية: $$a(b + c) = ab + ac$$
سهل