1) اختصر كلا من العبارتين التاليتين حيث $$x$$ و $$y$$ عددان صحيحان نسبيّان :
$$A = -(2 - x + y) - (4 - y )$$ ; $$B = -x- (-5-y)+(x-3) $$
2) بين ان $$A=x-6$$ ; $$B= y + 2 $$
3) قارن A و B إذا علمت ان $$x - y =-6$$
🔍 الحل التفصيلي
1
تبسيط العبارة $$A$$:
$$A = -(2 - x + y) - (4 - y)$$
$$= -2 + x - y - 4 + y$$
$$= x - 6$$
2
تبسيط العبارة $$B$$:
$$B = -x - (-5 - y) + (x - 3)$$
$$= -x + 5 + y + x - 3$$
$$= y + 2$$
3
مقارنة $$A$$ و $$B$$ عندما $$x - y = -6$$:
$$A - B = (x - 6) - (y + 2) = x - y - 8$$
$$= -6 - 8 = -14$$
بما أن $$A - B = -14 < 0$$، فإن $$A < B$$
$$A = x - 6$$، $$B = y + 2$$، وعندما $$x - y = -6$$ فإن $$A < B$$
نعتبر العبارتين التاليتين $$A$$ و $$B$$ حيث $$x$$ و $$y$$ عددان صحيحان نسبيّان :
$$A = 2 - [ ( x + 8 ) - 1]$$ ; $$ B=5-[-(y-2)-4]$$
1) بيّن أنّ $$B = y + 7$$ و $$A = - x - 5$$
2) علما أنّ $$x + y = -11$$
أ- احسب الفرق $$A - B$$
ب- استنتج مقارنة للعددين $$A$$ و $$B$$
🔍 الحل التفصيلي
1
تبسيط العبارة $$A$$:
$$A = 2 - [(x + 8) - 1]$$
$$= 2 - [x + 7]$$
$$= 2 - x - 7$$
$$= -x - 5$$
2
تبسيط العبارة $$B$$:
$$B = 5 - [-(y - 2) - 4]$$
$$= 5 - [-y + 2 - 4]$$
$$= 5 - [-y - 2]$$
$$= 5 + y + 2$$
$$= y + 7$$
3
حساب الفرق $$A - B$$ عندما $$x + y = -11$$:
$$A - B = (-x - 5) - (y + 7)$$
$$= -x - 5 - y - 7$$
$$= -(x + y) - 12$$
$$= -(-11) - 12 = 11 - 12 = -1$$
4
المقارنة:
بما أن $$A - B = -1 < 0$$، فإن $$A < B$$
$$A = -x - 5$$، $$B = y + 7$$، $$A - B = -1$$، إذن $$A < B$$
1) ليكن $$x$$ عددا صحيحا نسبيّا. نعتبر العددين $$A$$ و $$B$$ حيث
$$A = 11 - (x + 5)$$ و $$B = 8 - x$$
قارن $$A$$ و $$B$$
2) رتّب تصاعديّا الأعداد الصحيحة النسبيّة السّالبة : $$a$$ و $$b$$ و $$c$$ علما أنّ
$$|a| < |b|$$ و $$|b| < |c|$$
🔍 الحل التفصيلي
1
تبسيط العبارات:
$$A = 11 - (x + 5) = 11 - x - 5 = 6 - x$$
$$B = 8 - x$$
2
مقارنة $$A$$ و $$B$$:
$$A - B = (6 - x) - (8 - x) = 6 - x - 8 + x = -2$$
بما أن $$A - B = -2 < 0$$، فإن $$A < B$$
3
ترتيب الأعداد السالبة:
إذا كانت $$a$$، $$b$$، $$c$$ أعداد سالبة و $$|a| < |b| < |c|$$
فإن: $$c < b < a$$ (الترتيب التصاعدي)
$$A < B$$ دائماً، والترتيب التصاعدي: $$c < b < a$$
نعتبر العبارة التالية : $$A = (7 - a) + [4 - (-a + 10)] + (a - 5)$$ حيث $$a$$ عدد صحيح نسبي
1) بيّن أنّ : $$A = a - 4$$
2) لتكن العبارة $$B = a + 6$$
أ- احسب الفرق $$A - B$$
ب- استنتج مقارنة بين العددين $$A$$ و $$B$$
🔍 الحل التفصيلي
1
تبسيط العبارة $$A$$:
$$A = (7 - a) + [4 - (-a + 10)] + (a - 5)$$
$$= (7 - a) + [4 + a - 10] + (a - 5)$$
$$= (7 - a) + (a - 6) + (a - 5)$$
$$= 7 - a + a - 6 + a - 5$$
$$= a + (7 - 6 - 5) = a - 4$$
2
حساب الفرق $$A - B$$:
$$A - B = (a - 4) - (a + 6) = a - 4 - a - 6 = -10$$
3
المقارنة:
بما أن $$A - B = -10 < 0$$، فإن $$A < B$$
$$A = a - 4$$، $$A - B = -10$$، إذن $$A < B$$
1) رتّب تصاعديا الأعداد التالية :
$$0 ; -11 ; -2 ; 5 ; 21 ; -3$$
2) ليكن $$a$$ و $$b$$ عددين كسريين نسبيين .
أ- قارن العبارتين $$X = (17 + a) - b$$ و $$Y = (-5 + a) - b$$
ب- علما أنّ : $$a > b$$ قارن $$a + 8$$ و $$b - 3$$
🔍 الحل التفصيلي
1
ترتيب الأعداد تصاعدياً:
$$-11 < -3 < -2 < 0 < 5 < 21$$
2
مقارنة $$X$$ و $$Y$$:
$$X - Y = [(17 + a) - b] - [(-5 + a) - b]$$
$$= 17 + a - b + 5 - a + b = 22$$
بما أن $$X - Y = 22 > 0$$، فإن $$X > Y$$
3
مقارنة $$a + 8$$ و $$b - 3$$ عندما $$a < b$$:
$$(a + 8) - (b - 3) = a + 8 - b + 3 = (a - b) + 11$$
بما أن $$a > b$$، فإن $$a - b > 0 ; 11 > 0 $$
إذن $$a + 8 > b - 3$$ (عادة)
الترتيب: $$-11 < -3 < -2 < 0 < 5 < 21$$، $$X > Y$$، عادة $$a + 8 > b - 3$$
$$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيّان يحققان$$a - b = 5$$
قارن العددين $$X = a + 2 - 12$$ و $$Y = 5 + b$$ إذا علمت ان A عدد صحيح موجب
🔍 الحل التفصيلي
1
تبسيط العبارات:
$$X = a + 2 - 12 = a - 10$$
$$Y = 5 + b$$
4
مقارنة $$X$$ و $$Y$$:
$$X - Y = (a - 10) - 2a = a - 10 - 2a = -a - 10$$
$$X - Y = -(a + 10)$$
بما أن $$a + 10$$ موجب، فإن $$X - Y < 0$$، إذن $$X < Y$$
$$X = a - 10$$، $$Y = 2a$$، و $$X < Y$$
1) احسب ما يلي :
- $$a = -(-7) - (119 - 7)$$
- $$b = (-10) \times (+5) \times (-2)$$
2) رتّب تنازليا الأعداد التالية :
$$(-6), 3, (-7), (-13), 0, (-2), 2, (-17), 13, (-10), 20$$
3) أ- ليكن $$x$$ عدد صحيح نسبي . قارن في كل مرة بين :
- $$x + 1$$ و $$x - 5$$
- $$11 - x$$ و $$3 - x$$
ب- علما أنّ $$a - b = 4$$ قارن بين : $$x = -3 + b$$ و $$y = a - 7$$
🔍 الحل التفصيلي
1
حساب $$a$$:
$$a = -(-7) - (119 - 7) = +7 - 112 = -105$$
2
حساب $$b$$:
$$b = (-10) \times (+5) \times (-2) = (-50) \times (-2) = +100$$
3
الترتيب التنازلي:
$$20 > 13 > 3 > 2 > 0 > (-2) > (-6) > (-7) > (-10) > (-13) > (-17)$$
4
المقارنات:
أ- $$(x + 1) - (x - 5) = 6 > 0$$ إذن $$x + 1 > x - 5$$
$$(11 - x) - (3 - x) = 8 > 0$$ إذن $$11 - x > 3 - x$$
ب- $$x - y = (-3 + b) - (a - 7) = -3 + b - a + 7 = 4 + b - a$$
بما أن $$a - b = 4$$، فإن $$b - a = -4$$
إذن $$x - y = 4 + (-4) = 0$$، أي $$x = y$$
$$a = -105$$، $$b = 100$$، الترتيب كما هو مذكور أعلاه، $$x + 1 > x - 5$$، $$11 - x > 3 - x$$، $$x = y$$
نعتبر العبارتين التاليتين حيث $$x$$ و $$y$$ عددان صحيحان نسبيان :
$$A = -x - (-y - 5) + (x - 2)$$ ؛ $$B = -(1 - x + y) - (4 - y)$$
1) بيّن أنّ : $$A = y + 3$$ و $$B = x - 5$$
2) علما أنّ $$x - y = 9$$ احسب الفرق : $$A - B$$
ب- استنتج مقارنة للعددين $$A$$ و $$B$$
🔍 الحل التفصيلي
1
تبسيط العبارة $$A$$:
$$A = -x - (-y - 5) + (x - 2)$$
$$= -x + y + 5 + x - 2$$
$$= y + 3$$
2
تبسيط العبارة $$B$$:
$$B = -(1 - x + y) - (4 - y)$$
$$= -1 + x - y - 4 + y$$
$$= x - 5$$
3
حساب $$A - B$$ عندما $$x - y = 9$$:
$$A - B = (y + 3) - (x - 5) = y + 3 - x + 5 = -(x - y) + 8$$
$$= -9 + 8 = -1$$
4
المقارنة:
بما أن $$A - B = -1 < 0$$، فإن $$A < B$$
$$A = y + 3$$، $$B = x - 5$$، $$A - B = -1$$، إذن $$A < B$$
1) احسب العبارات التالية :
أ- $$A = -13 - (-19) - |-19| - (-21)$$
ب- $$B = -27 - (-27 - 14)$$
2) أوجد العدد الصحيح النسبي $$x$$ في كل حالة :
أ- $$-15 + (-4 + x) = -15$$
ب- $$-15 + |x| = -13$$
3) نعتبر العبارتين $$X$$ و $$Y$$ حيث $$a$$ عدد صحيح نسبي :
$$X = -23 + (a - 9)$$ و $$Y = 12 - (9 - a)$$
أ- احسب $$X - Y$$
ب- قارن $$X$$ و $$Y$$
🔍 الحل التفصيلي
1
حساب $$A$$:
$$A = -13 - (-19) - |-19| - (-21)$$
$$= -13 + 19 - 19 + 21 = 8$$
2
حساب $$B$$:
$$B = -27 - (-27 - 14) = -27 - (-41) = -27 + 41 = 14$$
3
حل المعادلات:
أ- $$-15 + (-4 + x) = -15$$
$$-19 + x = -15$$
$$x = 4$$
ب- $$-15 + |x| = -13$$
$$|x| = 2$$
$$x = 2$$ أو $$x = -2$$
4
تبسيط وحساب $$X - Y$$:
$$X = -23 + (a - 9) = a - 32$$
$$Y = 12 - (9 - a) = 12 - 9 + a = a + 3$$
$$X - Y = (a - 32) - (a + 3) = -35$$
بما أن $$X - Y = -35 < 0$$، فإن $$X < Y$$
$$A = 8$$، $$B = 14$$، $$x = 4$$ (أ)، $$x = ±2$$ (ب)، $$X - Y = -35$$، إذن $$X < Y$$