تمارين الجبر والمقارنة

1
التمرين الأول

ب) ليكن \( a - b = -3 \) حيث \( b \in \mathbb{Z} \) و \( a \in \mathbb{Z} \)

قارن:

\( b - 7 \, \text{و} \, a - 5 \)

ثم \( a - b = -4 \, b \) و \( 11 - a \) ثم

\( a - (2 + b) \, \text{و} \, (7 + a) - b \)

ثم \( -20 + (b + 1) \, \text{و} \, 14 - (3 - a) \)

✓
الحل التفصيلي
المعطيات:
\( a - b = -3 \Rightarrow a = b - 3 \)
1) مقارنة \( b - 7 \) و \( a - 5 \):
\( a - 5 = (b - 3) - 5 = b - 8 \)

بالمقارنة مع \( b - 7 \):

\( b - 7 > b - 8 \)

لذلك: \( b - 7 > a - 5 \)

2) مقارنة \( a - (2 + b) \) و \( (7 + a) - b \):
\( a - (2 + b) = (b - 3) - 2 - b = -5 \)
\( (7 + a) - b = 7 + (b - 3) - b = 4 \)

بالمقارنة: \( -5 < 4 \)

لذلك: \( a - (2 + b) < (7 + a) - b \)

3) مقارنة \( -20 + (b + 1) \) و \( 14 - (3 - a) \):
\( -20 + (b + 1) = b - 19 \)
\( 14 - (3 - a) = 14 - 3 + a = 11 + a = 11 + (b - 3) = b + 8 \)

بالمقارنة: \( b - 19 < b + 8 \)

لذلك: \( -20 + (b + 1) < 14 - (3 - a) \)

2
التمرين الثاني

تعتبر المجموعة \( E = \{1; -8; -3; -5; 2; 3; 5\} \) وليكن \( x \) عنصر منها

أ) أكمل بإحدى الرموز التالية: \( x > 0 \) أو \( x < 0 \)

ب) أكتب جميع عناصر المجموعات التالية:

  • \( \{x \in E \mid x < 2\} \)
  • \( \{x \in E \mid x = 2\} \)
  • \( \{x \in E \mid |x| < 3\} \)

ج) \( M \cap N = O \)

✓
الحل التفصيلي
أ) تصنيف العناصر:

العناصر الموجبة في E: \( 1, 2, 3, 5 \)

العناصر السالبة في E: \( -8, -3, -5 \)

ب) المجموعات المطلوبة:

1) \( \{x \in E \mid x < 2\} = \{-8, -5, -3, 1\} \)

2) \( \{x \in E \mid x = 2\} = \{2\} \)

3) \( \{x \in E \mid |x| < 3\} = \{-3, 1, 2\} \)

ج) تقاطع المجموعات:

\( M \cap N = O \) تعني أن تقاطع المجموعتين M و N هو المجموعة الفارغة O

3
التمرين الثالث

أنشر ثم اختصر العبارات التالية:

\( A = 2(x - 5) - 3(2x - 7) + 4(6 - x) \)
\( B = (-2)(-21 + x - y) \)
\( C = x.(2 - y) - 2y.(3 + x) \)
✓
الحل التفصيلي
تبسيط العبارة A:
\( A = 2(x - 5) - 3(2x - 7) + 4(6 - x) \)
\( A = 2x - 10 - 6x + 21 + 24 - 4x \)
\( A = (2x - 6x - 4x) + (-10 + 21 + 24) \)
\( A = -8x + 35 \)
تبسيط العبارة B:
\( B = (-2)(-21 + x - y) \)
\( B = 42 - 2x + 2y \)
تبسيط العبارة C:
\( C = x.(2 - y) - 2y.(3 + x) \)
\( C = 2x - xy - 6y - 2xy \)
\( C = 2x - 6y - 3xy \)
4
التمرين الرابع

أكتب في صيغة جذاء المجاميع التالية:

\( A = 3ab - 2a \)
\( B = 2ab - 6b + 8a \)
\( C = 3a - 12b + 24 \)
✓
الحل التفصيلي
تحليل العبارة A:
\( A = 3ab - 2a = a(3b - 2) \)
تحليل العبارة B:
\( B = 2ab - 6b + 8a = 2b(a - 3) + 8a \)

أو بطريقة أخرى:

\( B = 2(ab - 3b + 4a) \)
تحليل العبارة C:
\( C = 3a - 12b + 24 = 3(a - 4b + 8) \)
5
التمرين الخامس

أوجد العدد \( a \) في كل حالة من الحالات التالية:

\( J = H \, , \, H = 0 \, , \, I = 0 \, , \, G = 0 \)

حيث:

\( G = (6y - 3) \times 2x - (5 - 3x)(2y - 7) \)
✓
الحل التفصيلي
حل المعادلة G = 0:
\( (6y - 3) \times 2x - (5 - 3x)(2y - 7) = 0 \)
\( 12xy - 6x - (10y - 35 - 6xy + 21x) = 0 \)
\( 12xy - 6x - 10y + 35 + 6xy - 21x = 0 \)
\( 18xy - 27x - 10y + 35 = 0 \)

هذه معادلة غير خطية تحتاج إلى معلومات إضافية لحلها

حل المعادلات الأخرى:

نحتاج إلى تعريف واضح للعبارات J, H, I لحل المعادلات المطلوبة