نعتبر العبارتين E و F حيث a و b عددان صحيحان نسبيان وحيث $a \ne 0$ و $b \ne 0$:
$$E = -a(b - 3) + 2b(3 - a)$$
$$\text{و } F = |2a| - |b| + |b - a|$$
-
أ) بيّن أن:
$$E = 3a + 6b - 3ab$$
-
ب) أحسب E في حالة $|a| = 4$ و $|b| = 3$.
-
أ) إذا علمت أن $a ∈{N}$ و $b ∈{Z}_{-}^*$، حدد علامة b - a معلّلا جوابك.
-
ب) استنتج أن:
$$F = 3a$$
-
أ) بيّن أن:
$$E - F = 3b(2 - a)$$
-
ب) استنتج مقارنة E و F (علما أن $a > 2$).
التصحيح المفصل للتمرين 3
1) أ) إثبات أن $E = 3a + 6b - 3ab$:
العبارة E هي:
E = -a(b - 3) + 2b(3 - a)
نشر العبارة:
E = -ab + 3a + 6b - 2ab
ترتيب واختصار الحدود المتشابهة:
E = 3a + 6b + (-ab - 2ab)
الاختصار النهائي:
E = 3a + 6b - 3ab
1) ب) حساب E في حالة $|a| = 4$ و $|b| = 3$:
💡 القيمة العددية لـ E لا تتغير بتغير إشارات a و b في حالة التعويض بالقيمة المطلقة (هذا السؤال يهدف لتعويض $a=4$ و $b=3$ أو أي مجموعة تحقق القيم المطلقة). سنعوض بأبسط الحالات $a=4$ و $b=3$.
التعويض في $E = 3a + 6b - 3ab$:
E = 3 * 4 + 6 * 3 - 3 * 4 * 3
نواصل الحساب:
E = 12 + 18 - 36
القيمة النهائية:
E = -6
2) أ) تحديد علامة $b - a$ (بفرض $a ∈{N}$ و $b ∈{Z}_{-}^*$):
لدينا a عدد صحيح طبيعي ($a \ge 0$).
لدينا b عدد صحيح نسبي سالب غير منعدم ($b < 0$).
العدد a موجب أو منعدم، والعدد b سالب.
$b - a$ هو طرح عدد موجب من عدد سالب.
بما أن $b < 0$ و $a \ge 0$، فإن $b - a < 0$.
إذن علامة $b - a$ هي:
سالبة
2) ب) استنتاج أن $F = 3a$:
💡 نعتبر a عدد طبيعي غير منعدم (لأن $|a|=4$).
العبارة F:
$F = |2a| - |b| + |b - a|$
نحدد قيم القيمة المطلقة:
بما أن $a ∈{N}$ فإن $a \ge 0$ و $|2a| = 2a$.
نحدد قيم القيمة المطلقة:
بما أن $b ∈{Z}_{-}^*$ فإن $b < 0$ و $|b| = -b$.
نحدد قيم القيمة المطلقة:
بما أن $b - a < 0$ فإن $|b - a| = -(b - a) = a - b$.
نعوض في F:
$F = 2a - (-b) + (a - b)$
نواصل الحساب:
$F = 2a + b + a - b$
الاختصار النهائي:
$F = 3a$
3) أ) إثبات أن $E - F = 3b(2 - a)$:
نطرح F من E باستعمال العبارتين المختصرتين:
$E - F = (3a + 6b - 3ab) - 3a$
نواصل الحساب:
$E - F = 6b - 3ab$
نخرج العامل المشترك $3b$:
$E - F = 3b(2 - a)$
3) ب) استنتاج مقارنة E و F (علما أن $a > 2$):
ندرس علامة الفرق $E - F = 3b(2 - a)$.
لدينا $b ∈{Z}_{-}^*$:
إذن $3b$ سالب.
لدينا $a > 2$:
إذن $2 - a$ سالب.
علامة $E - F$:
$E - F = (\text{سالب}) \times (\text{سالب}) = \text{موجب}$
الاستنتاج:
$E - F > 0$ أي $E > F$.
✅ الإجابات النهائية: $E = 3a + 6b - 3ab$ | $F = 3a$ | $E > F$ (بشرط $a > 2$ و $b < 0$)