🎯 رياضيات - عناصر الحساب الحرفي

تمرين عددي

التمرين 1

لتكن العبارتين $A$ و $B$ حيث $x$ عدد صحيح نسبي:

$A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x)$
و
$B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20$
أ/ فكك $A$ إلى جداء عوامل
ب/ بيّن باستعمال التفكيك إلى جداء عوامل أن:
$B = 6(x - 2)(x - 3)$
💡 توجيهات للتفكير
للسؤال أ: ابحث عن العامل المشترك في $A$. لاحظ أن $(5x - 3)$ و $(3 - 5x)$ مرتبطان.
تذكر: $(3 - 5x) = -(5x - 3)$
للسؤال ب: طور التعبير $B$ أولاً، ثم استخرج العوامل المشتركة.
📝 منهجية الحل
السؤال أ - التفكيك:
$A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x)$
$A = -4(5x - 3) + (3x - 2)[-(5x - 3)]$
$A = -4(5x - 3) - (3x - 2)(5x - 3)$
$A = (5x - 3)[-4 - (3x - 2)]$
$A = (5x - 3)(-4 - 3x + 2)$
$A = (5x - 3)(-3x - 2)$ أو $A = -(5x - 3)(3x + 2)$
السؤال ب - إثبات التفكيك:
$B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20$
نستخرج $2$ من الحد الأول:
$B = 2(x - 2)(3x - 4) - 10(x - 2)$
$B = 2(x - 2)[(3x - 4) - 5]$
$B = 2(x - 2)(3x - 9)$
$B = 6(x - 2)(x - 3)$
✅ الحل النهائي
السؤال أ:
$A = -(5x - 3)(3x + 2)$
السؤال ب:
$B = 6(x - 2)(x - 3)$
التمرين 2

أوجد العدد الصحيح النسبي $x$ حيث $B = 0$

تمرين عددي

💡 توجيهات للتفكير
استعمل التفكيك السابق: $B = 6(x - 2)(x - 3)$
تذكر: جداء يساوي الصفر إذا كان أحد عوامله يساوي الصفر.
📝 منهجية الحل
نستعمل التفكيك: $B = 6(x - 2)(x - 3) = 0$
$6 \neq 0$، إذن:
$(x - 2)(x - 3) = 0$
إما $x - 2 = 0$ أي $x = 2$
أو $x - 3 = 0$ أي $x = 3$
✅ الحل النهائي
$x = 2$ أو $x = 3$
التمرين 3

لتعتبر العبارتين $E$ و $F$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان نسبيان:

$E = -3(a - 3) - 4(1 + a - b) - (b + 2a)$
و
$F = 1 - [-2 - (3a - b)] + (1 + a)$
1) بيّن أن:
$E = 3b - 9a + 5$ و $F = 4a - b + 4$
2) احسب $E$ إذا علمت أن $b - 3a = -2$
3) أ/ بيّن أن $E + 2F = b - a + 13$
ب/ قارن $a$ و $b$ إذا علمت أن $E + 2F = 10$
ج/ قارن العددين $E$ و $-2F$ إذا علمت أن $a = b$
💡 توجيهات للتفكير
للسؤال 1: طور كل تعبير واجمع الحدود المتشابهة.
للسؤال 2: عوّض $b - 3a$ بـ $-2$ في التعبير المبسط لـ $E$.
للسؤال 3أ: احسب $E + 2F$ باستعمال التعبيرات المبسطة.
للسؤال 3ب: إذا كان $E + 2F = 10$، فإن $b - a + 13 = 10$.
للسؤال 3ج: إذا كان $a = b$، احسب $E$ و $-2F$ ثم قارنهما.
📝 منهجية الحل
السؤال 1 - تطوير $E$:
$E = -3(a - 3) - 4(1 + a - b) - (b + 2a)$
$E = -3a + 9 - 4 - 4a + 4b - b - 2a$
$E = -9a + 3b + 5$
$E = 3b - 9a + 5$
تطوير $F$:
$F = 1 - [-2 - (3a - b)] + (1 + a)$
$F = 1 - [-2 - 3a + b] + 1 + a$
$F = 1 + 2 + 3a - b + 1 + a$
$F = 4a - b + 4$
السؤال 2:
إذا علمنا أن $b - 3a = -2$، نعوض في $E$:
$E = 3b - 9a + 5 = 3(b - 3a) + 5$
$E = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1$
$E = -1$
السؤال 3أ:
$E + 2F = (3b - 9a + 5) + 2(4a - b + 4)$
$E + 2F = 3b - 9a + 5 + 8a - 2b + 8$
$E + 2F = b - a + 13$
السؤال 3ب:
إذا $E + 2F = 10$، فإن:
$b - a + 13 = 10$
$b - a = -3$
$b < a$
السؤال 3ج:
إذا $a = b$:
$E = 3b - 9a + 5 = 3a - 9a + 5 = -6a + 5$
$-2F = -2(4a - b + 4) = -8a + 2b - 8 = -8a + 2a - 8 = -6a - 8$
$E - (-2F) = (-6a + 5) - (-6a - 8) = 13 > 0$
$E > -2F$
✅ الحل النهائي
1) $E = 3b - 9a + 5$ و $F = 4a - b + 4$
2) $E = -1$
3أ) $E + 2F = b - a + 13$
3ب) $b < a$
3ج) $E > -2F$