1) أ/ أنشر ثم اختصر العبارة A حيث x عدد صحيح نسبي
\[ A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x) \]
ب/ فكك A إلى جداء عوامل
2) لتكن العبارة B التالية
\[ B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20 \]
أ/ بين باستعمال التفكيك إلى جداء عوامل أن
\[ B = (2x - 4)(3x - 9) \]
ب/ أوجد العدد الصحيح النسبي x حيث B = 0
1) أ/ نشر واختصار A:
\[ A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x) \]
نشر القوس الأول:
\[ -4(5x - 3) = -20x + 12 \]
\[ -4(5x - 3) = -20x + 12 \]
نشر القوس الثاني:
\[ (3x - 2)(3 - 5x) = 3x \times 3 + 3x \times (-5x) + (-2) \times 3 + (-2) \times (-5x) \]
\[ = 9x - 15x^2 - 6 + 10x = -15x^2 + 19x - 6 \]
\[ (3x - 2)(3 - 5x) = 3x \times 3 + 3x \times (-5x) + (-2) \times 3 + (-2) \times (-5x) \]
\[ = 9x - 15x^2 - 6 + 10x = -15x^2 + 19x - 6 \]
جمع الحدود:
\[ A = -20x + 12 + (-15x^2 + 19x - 6) \]
\[ A = -15x^2 + (-20x + 19x) + (12 - 6) \]
\[ A = -15x^2 - x + 6 \]
\[ A = -20x + 12 + (-15x^2 + 19x - 6) \]
\[ A = -15x^2 + (-20x + 19x) + (12 - 6) \]
\[ A = -15x^2 - x + 6 \]
ب/ تفكيك A إلى جداء عوامل:
نعود إلى الشكل الأصلي ونلاحظ أن:
\[ (3 - 5x) = -(5x - 3) \]
\[ (3 - 5x) = -(5x - 3) \]
\[ A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(-(5x - 3)) \]
\[ A = -4(5x - 3) - (3x - 2)(5x - 3) \]
\[ A = -4(5x - 3) - (3x - 2)(5x - 3) \]
نستخرج العامل المشترك (5x - 3):
\[ A = (5x - 3)[-4 - (3x - 2)] \]
\[ A = (5x - 3)(-4 - 3x + 2) \]
\[ A = (5x - 3)(-3x - 2) \]
\[ A = -(5x - 3)(3x + 2) \]
\[ A = (5x - 3)[-4 - (3x - 2)] \]
\[ A = (5x - 3)(-4 - 3x + 2) \]
\[ A = (5x - 3)(-3x - 2) \]
\[ A = -(5x - 3)(3x + 2) \]
2) أ/ تبيان B باستعمال التفكيك:
\[ B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20 \]
نلاحظ أن:
\[ -10x + 20 = -10(x - 2) \]
\[ 2x - 4 = 2(x - 2) \]
\[ -10x + 20 = -10(x - 2) \]
\[ 2x - 4 = 2(x - 2) \]
\[ B = 2(x - 2)(3x - 4) - 10(x - 2) \]
نستخرج العامل المشترك (x - 2):
\[ B = (x - 2)[2(3x - 4) - 10] \]
\[ B = (x - 2)(6x - 8 - 10) \]
\[ B = (x - 2)(6x - 18) \]
\[ B = (x - 2) \times 6(x - 3) \]
\[ B = 6(x - 2)(x - 3) \]
\[ B = (x - 2)[2(3x - 4) - 10] \]
\[ B = (x - 2)(6x - 8 - 10) \]
\[ B = (x - 2)(6x - 18) \]
\[ B = (x - 2) \times 6(x - 3) \]
\[ B = 6(x - 2)(x - 3) \]
نتحقق من المطلوب:
\[ (2x - 4)(3x - 9) = 2(x - 2) \times 3(x - 3) = 6(x - 2)(x - 3) \]
إذن B = (2x - 4)(3x - 9) ✓
\[ (2x - 4)(3x - 9) = 2(x - 2) \times 3(x - 3) = 6(x - 2)(x - 3) \]
إذن B = (2x - 4)(3x - 9) ✓
ب/ إيجاد قيم x حيث B = 0:
\[ B = (2x - 4)(3x - 9) = 0 \]
لكي يكون الجداء = 0، يجب أن يكون أحد العاملين = 0:
الحالة الأولى: \(2x - 4 = 0\)
\[ 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \]
\[ 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \]
الحالة الثانية: \(3x - 9 = 0\)
\[ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \]
\[ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \]
إذن قيم x التي تجعل B = 0 هي: x = 2 أو x = 3