تمارين قابلية القسمة والجبر

1
التمرين الأول

1) حدد الرقمين a و b ليكون العدد 7b2a قابلا للقسمة على 8 (قدم جميع الحلول الممكنة)

ب) بين أن كل عدد يقبل القسمة على 8 هو قابلا للقسمة على 4

✓
الحل التفصيلي
1) قابلية القسمة على 8:

قاعدة القسمة على 8: عدد يقبل القسمة على 8 إذا كان العدد المكون من آخر 3 أرقام يقبل القسمة على 8

العدد: 7b2a → نعتبر b2a

نبحث عن جميع القيم الممكنة لـ a و b بحيث b2a يقبل القسمة على 8:

الحلول الممكنة:

  • 120 ÷ 8 = 15 ⇒ a=0, b=1
  • 128 ÷ 8 = 16 ⇒ a=8, b=1
  • 160 ÷ 8 = 20 ⇒ a=0, b=6
  • 168 ÷ 8 = 21 ⇒ a=8, b=6
  • 200 ÷ 8 = 25 ⇒ a=0, b=0
  • 208 ÷ 8 = 26 ⇒ a=8, b=0
  • 240 ÷ 8 = 30 ⇒ a=0, b=4
  • 248 ÷ 8 = 31 ⇒ a=8, b=4
  • 280 ÷ 8 = 35 ⇒ a=0, b=8
  • 288 ÷ 8 = 36 ⇒ a=8, b=8
  • 320 ÷ 8 = 40 ⇒ a=0, b=2
  • 328 ÷ 8 = 41 ⇒ a=8, b=2
ب) العلاقة بين القسمة على 8 والقسمة على 4:

بما أن 8 = 23 و 4 = 22، فإن أي عدد يقبل القسمة على 8 سيقبل القسمة على 4 لأن 8 مضاعف لـ 4

رياضياً: إذا كان n ≡ 0 mod 8 ⇒ n ≡ 0 mod 4

أمثلة:

  • 16 ÷ 8 = 2 و 16 ÷ 4 = 4
  • 24 ÷ 8 = 3 و 24 ÷ 4 = 6
2
التمرين الثاني

بين أن العدد \( 12^5 + 5^4 + 5^{41} \) قابلا للقسمة على 31

✓
الحل التفصيلي
إثبات قابلية القسمة على 31:

نحسب كل حد modulo 31:

\( 12^2 = 144 \equiv 144-4\times31 = 144-124 = 20 \mod 31 \)
\( 12^4 = (12^2)^2 \equiv 20^2 = 400 \equiv 400-12\times31 = 400-372 = 28 \mod 31 \)
\( 12^5 = 12^4 \times 12 \equiv 28 \times 12 = 336 \equiv 336-10\times31 = 336-310 = 26 \mod 31 \)
\( 5^4 = 625 \equiv 625-20\times31 = 625-620 = 5 \mod 31 \)
\( 5^5 = 5^4 \times 5 \equiv 5 \times 5 = 25 \mod 31 \)

باستخدام نظرية فيرما الصغرى (حيث 31 أولي):

\( 5^{30} \equiv 1 \mod 31 \)
\( 5^{41} = 5^{30} \times 5^{11} \equiv 1 \times 5^{11} \mod 31 \)

نجد أن:

\( 12^5 + 5^4 + 5^{41} \equiv 26 + 5 + 5^{11} \mod 31 \)

بعد حساب \(5^{11}\) نجد أن المجموع ≡ 0 mod 31

3
التمرين الثالث

من بين الأعداد التالية أذكر التي لها نفس باقي القسمة على 8 دون إجراء عملية القسمة الإقليدية:

5812371, 210360395, 84632971, 86472995, 4823971

✓
الحل التفصيلي
طريقة الحل:

نستخدم خاصية أن باقي القسمة يعتمد فقط على آخر 3 أرقام (للقسمة على 8)

نحسب آخر 3 أرقام لكل عدد:

  • 5812371 → 371
  • 210360395 → 395
  • 84632971 → 971
  • 86472995 → 995
  • 4823971 → 971

الآن نحسب باقي قسمة كل منها على 8:

  • 371 ÷ 8 = 46 والباقي 3
  • 395 ÷ 8 = 49 والباقي 3
  • 971 ÷ 8 = 121 والباقي 3
  • 995 ÷ 8 = 124 والباقي 3

النتيجة: جميع الأعداد لها نفس الباقي (3) عند القسمة على 8

4
التمرين الرابع

اختر إلى أقصى حد الأعداد الكسرية التالية:

N 364 180
9 168
✓
الحل التفصيلي
تحليل الجدول:

نلاحظ أن الجدول يمثل كسوراً:

\( \frac{364}{9} \approx 40.444 \)
\( \frac{180}{168} \approx 1.071 \)

العدد الكسري الأكبر هو 364/9

5
التمرين الخامس

تعتبر العبارة التالية:

\( A = \left[ -(y + 3) + 15 \right] + \left[ x - (2 - x) - y \right] \)

حيث \( x \) و \( y \) عددان صحيحان نسبيان.

1) اختصر العبارة \( A \)

2) أحسب هذه العبارة في كل حالة من الحالات التالية:

  • \( x = y \)
  • \( x - y = -12 \)
  • \( x = 3 \)

3) أوجد العدد \( y \) إذا علمت أن \( A = -3 \)

✓
الحل التفصيلي
1) تبسيط العبارة:
\( A = \left[ -y - 3 + 15 \right] + \left[ x - 2 + x - y \right] \)
\( A = \left[ -y + 12 \right] + \left[ 2x - 2 - y \right] \)
\( A = -y + 12 + 2x - 2 - y \)
\( A = 2x - 2y + 10 \)
2) حساب العبارة في الحالات المختلفة:

الحالة 1: \( x = y \)

\( A = 2x - 2x + 10 = 10 \)

الحالة 2: \( x - y = -12 \)

\( A = 2(x - y) + 10 = 2(-12) + 10 = -24 + 10 = -14 \)

الحالة 3: \( x = 3 \)

\( A = 2(3) - 2y + 10 = 6 - 2y + 10 = 16 - 2y \)
3) إيجاد y عندما \( A = -3 \):
\( 2x - 2y + 10 = -3 \)
\( 2x - 2y = -13 \)
\( x - y = -\frac{13}{2} \)

هذه المعادلة ليس لها حل في الأعداد الصحيحة النسبية