مجموعة التمارين الرياضية

تمارين 2، 3، 4 - العبارات الجبرية والحسابية

✨ تمارين شاملة ومفصلة ✨
2
التمرين رقم 2
لتكن العبارة E حيث a و b عددان صحيحان نسبيان:
E = (a + 1) - b - [11 - (b - 5)] + (11 - b)
1) بين أن E = a - b - 4
الحل التفصيلي لتبسيط العبارة E
الخطوة 1: تبسيط ما داخل الأقواس المربعة
[11 - (b - 5)] = [11 - b + 5] = [16 - b]
الخطوة 2: إعادة كتابة العبارة E
E = (a + 1) - b - [16 - b] + (11 - b)
الخطوة 3: توزيع العلامة السالبة على الأقواس المربعة
E = (a + 1) - b - 16 + b + (11 - b)
الخطوة 4: حذف الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة
E = a + 1 - b - 16 + b + 11 - b
E = a + (1 - 16 + 11) + (-b + b - b)
E = a - 4 - b
💡 تذكر:
عند توزيع العلامة السالبة على قوس، تتغير إشارة كل حد داخل القوس:
-(a + b) = -a - b
-(a - b) = -a + b
النتيجة النهائية:
E = a - b - 4
2) احسب E إذا علمت أن a = 13 و b = -3
الحل التفصيلي لحساب E
الخطوة 1: استخدام العبارة المبسطة
E = a - b - 4
الخطوة 2: التعويض بالقيم المعطاة
E = 13 - (-3) - 4
الخطوة 3: تبسيط العملية
E = 13 + 3 - 4 = 16 - 4 = 12
الإجابة النهائية:
E = 12
3) أ) احسب b - a إذا علمت أن E = -8
الحل التفصيلي لإيجاد b - a
الخطوة 1: استخدام العبارة المبسطة
E = a - b - 4
الخطوة 2: تطبيق الشرط E = -8
a - b - 4 = -8
الخطوة 3: حل المعادلة لإيجاد a - b
a - b = -8 + 4 = -4
الخطوة 4: إيجاد b - a
b - a = -(a - b) = -(-4) = 4
الإجابة النهائية:
b - a = 4
ب) استنتج مقارنة للعددين a و b إذا علمت أن E + 8 = 0
الحل التفصيلي للمقارنة بين a و b
الخطوة 1: تحليل الشرط E + 8 = 0
E = -8
الخطوة 2: استخدام النتيجة من السؤال السابق
من السؤال السابق: إذا كان E = -8، فإن a - b = -4
الخطوة 3: تحليل المقارنة
a - b = -4 < 0
وهذا يعني a < b
💡 قاعدة المقارنة:
إذا كان a - b < 0، فإن a < b
إذا كان a - b > 0، فإن a > b
إذا كان a - b = 0، فإن a = b
الإجابة النهائية:
a < b
3
التمرين رقم 3
نعتبر العددين الصحيحين النسبيين x و y:
1) أنشر ثم اختصر:
A = 5(x - y - 3) - 2(7 - 3x)
B = (3x - 3)(-2 - 2y)
الحل التفصيلي لنشر واختصار A و B

🔸 نشر واختصار A:

الخطوة 1: نشر القوسين
A = 5(x - y - 3) - 2(7 - 3x)
A = 5x - 5y - 15 - 14 + 6x
الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة
A = (5x + 6x) + (-5y) + (-15 - 14)
A = 11x - 5y - 29

🔸 نشر واختصار B:

الخطوة 1: استخراج العوامل المشتركة
B = (3x - 3)(-2 - 2y)
B = 3(x - 1) × (-2)(1 + y)
B = -6(x - 1)(1 + y)
الخطوة 2: نشر الجداء
B = -6[(x - 1)(1 + y)]
B = -6[x + xy - 1 - y]
B = -6x - 6xy + 6 + 6y
النتائج النهائية:
A = 11x - 5y - 29
B = -6x - 6xy + 6y + 6
2) قارن العددين x و y إذا علمت أن A و B متقابلان
الحل التفصيلي للمقارنة عند تقابل A و B
تذكير: A و B متقابلان يعني A + B = 0
الخطوة 1: حساب A + B
A + B = (11x - 5y - 29) + (-6x - 6xy + 6y + 6)
A + B = 11x - 6x - 5y + 6y - 6xy - 29 + 6
A + B = 5x + y - 6xy - 23
الخطوة 2: تطبيق شرط التقابل A + B = 0
5x + y - 6xy - 23 = 0
5x + y - 6xy = 23
الخطوة 3: تحليل المعادلة
هذه معادلة معقدة تتطلب قيم محددة لـ x و y للمقارنة
يمكن إعادة كتابتها: y(1 - 6x) = 23 - 5x
💡 ملاحظة:
المقارنة تعتمد على القيم المحددة لـ x و y التي تحقق المعادلة.
لحالات خاصة يمكن تحديد العلاقة بدقة أكبر.
المعادلة المطلوبة:
5x + y - 6xy = 23
4
التمرين رقم 4
1) احسب العبارات التالية:
B = (-21) × (-3) - 4 × (-9) - (-5) × 2
L = 4 - (-2) × [6 - 5 × (1 - 8)]
M = [(-18) × (-2) + 9] × (-3)
الحل التفصيلي لحساب العبارات

🔸 حساب B:

الخطوة 1: حساب كل جزء منفصلاً
(-21) × (-3) = 63
4 × (-9) = -36
(-5) × 2 = -10
الخطوة 2: تجميع النتائج
B = 63 - (-36) - (-10)
B = 63 + 36 + 10 = 109

🔸 حساب L:

الخطوة 1: حساب الأقواس الداخلية
(1 - 8) = -7
الخطوة 2: حساب الأقواس المربعة
[6 - 5 × (-7)] = [6 - (-35)] = [6 + 35] = 41
الخطوة 3: حساب النتيجة النهائية
L = 4 - (-2) × 41 = 4 - (-82) = 4 + 82 = 86

🔸 حساب M:

الخطوة 1: حساب الأقواس المربعة
[(-18) × (-2) + 9] = [36 + 9] = 45
الخطوة 2: حساب النتيجة النهائية
M = 45 × (-3) = -135
النتائج النهائية:
B = 109, L = 86, M = -135
2) دون إجراء عملية قارن العددين:
C = (-303) × (-41) × (-2) × 1006 × 11 × 33
D = (-303) × (-121) × 3 × (-4) × 736 × (-2)
الحل التفصيلي للمقارنة دون حساب
الخطوة 1: تحليل إشارة C
العوامل السالبة في C: (-303), (-41), (-2)
عدد العوامل السالبة = 3 (فردي)
إذن C < 0
الخطوة 2: تحليل إشارة D
العوامل السالبة في D: (-303), (-121), (-4), (-2)
عدد العوامل السالبة = 4 (زوجي)
إذن D > 0
الاستنتاج: المقارنة
بما أن C < 0 و D > 0
فإن C < D
💡 قاعدة العلامات:
في جداء عدة أعداد:
• إذا كان عدد العوامل السالبة زوجي → النتيجة موجبة
• إذا كان عدد العوامل السالبة فردي → النتيجة سالبة
الإجابة النهائية:
C < D
3) أ) أنشر واختصر العبارات التالية:
E = 2a(-3b + 5) - 4(3a - 6b)
F = 7(-a - 1) + (-2a - 5)(b - 3)
الحل التفصيلي لنشر واختصار E و F

🔸 نشر واختصار E:

الخطوة 1: نشر القوسين
E = 2a(-3b + 5) - 4(3a - 6b)
E = -6ab + 10a - 12a + 24b
الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة
E = -6ab + (10a - 12a) + 24b
E = -6ab - 2a + 24b

🔸 نشر واختصار F:

الخطوة 1: نشر الجزء الأول
7(-a - 1) = -7a - 7
الخطوة 2: نشر الجزء الثاني
(-2a - 5)(b - 3) = -2ab + 6a - 5b + 15
الخطوة 3: تجميع كل الحدود
F = -7a - 7 - 2ab + 6a - 5b + 15
F = -2ab + (-7a + 6a) - 5b + (-7 + 15)
F = -2ab - a - 5b + 8
النتائج النهائية:
E = -6ab - 2a + 24b
F = -2ab - a - 5b + 8
ب) احسب E و F إذا علمت أن a = -3 و b = 2
الحل التفصيلي لحساب E و F

🔸 حساب E:

الخطوة 1: التعويض في E = -6ab - 2a + 24b
E = -6(-3)(2) - 2(-3) + 24(2)
E = -6 × (-6) + 6 + 48
E = 36 + 6 + 48 = 90

🔸 حساب F:

الخطوة 1: التعويض في F = -2ab - a - 5b + 8
F = -2(-3)(2) - (-3) - 5(2) + 8
F = -2 × (-6) + 3 - 10 + 8
F = 12 + 3 - 10 + 8 = 13
النتائج النهائية:
E = 90, F = 13
4) اكتب العبارات التالية في صيغة جداء:
G = -6x - 9y
H = -12x - 6y - 18
I = 12xy - 24xyz + 36xyt
الحل التفصيلي للتحليل إلى جداء عوامل

🔸 تحليل G:

الخطوة 1: إيجاد العامل المشترك الأكبر
G = -6x - 9y
العامل المشترك: -3
الخطوة 2: استخراج العامل المشترك
G = -3(2x + 3y)

🔸 تحليل H:

الخطوة 1: إيجاد العامل المشترك الأكبر
H = -12x - 6y - 18
العامل المشترك: -6
الخطوة 2: استخراج العامل المشترك
H = -6(2x + y + 3)

🔸 تحليل I:

الخطوة 1: إيجاد العامل المشترك الأكبر
I = 12xy - 24xyz + 36xyt
العامل المشترك: 12xy
الخطوة 2: استخراج العامل المشترك
I = 12xy(1 - 2z + 3t)
💡 نصيحة:
للتحقق من صحة التحليل، انشر الجداء وتأكد من الحصول على العبارة الأصلية.
النتائج النهائية:
G = -3(2x + 3y)
H = -6(2x + y + 3)
I = 12xy(1 - 2z + 3t)