تمارين في الرياضيات

تصحيح التمرين:

لدينا $ a - b = -3 $. هذا يعني $ a = b - 3 $ أو $ b = a + 3 $.

مقارنة $ a - 5 $ و $ b - 7 $ :

نعوض $ a $ بـ $ b - 3 $ في التعبير الأول:

$$ a - 5 = (b - 3) - 5 = b - 8 $$

الآن نقارن $ b - 8 $ و $ b - 7 $.

بما أن $ -8 < -7 $، فإن $ b - 8 < b - 7 $.

إذن $ a - 5 < b - 7 $.

مقارنة $ a - 9 $ و $ b - 11 $ :

نعوض $ a $ بـ $ b - 3 $:

$$ a - 9 = (b - 3) - 9 = b - 12 $$

الآن نقارن $ b - 12 $ و $ b - 11 $.

بما أن $ -12 < -11 $، فإن $ b - 12 < b - 11 $.

إذن $ a - 9 < b - 11 $.

مقارنة $ 7 + a $ و $ 7 + b $ :

لدينا $ a - b = -3 $، مما يعني أن $ a < b $ (لأن $ a = b - 3 $).

بإضافة 7 إلى الطرفين، نحافظ على الترتيب:

$$ 7 + a < 7 + b $$

مقارنة $ 14 - (3-a) $ و $ 20 + (b+1) $ :

نُبسّط التعبير الأول:

$$ 14 - (3-a) = 14 - 3 + a = 11 + a $$

نُبسّط التعبير الثاني:

$$ 20 + (b+1) = 20 + b + 1 = 21 + b $$

الآن نقارن $ 11 + a $ و $ 21 + b $.

نعلم أن $ a - b = -3 $، أي $ a = b - 3 $.

نعوض $ a $ في التعبير الأول:

$$ 11 + a = 11 + (b - 3) = 11 + b - 3 = 8 + b $$

الآن نقارن $ 8 + b $ و $ 21 + b $.

بما أن $ 8 < 21 $، فإن $ 8 + b < 21 + b $.

إذن $ 14 - (3-a) < 20 + (b+1) $.

تصحيح تمرين رقم 3:

المجموعة $ E=\{-1; -8; -3; 5; 2; 3; 8\} $.

1) إكمال الرموز:

أكبر عنصر في E هو 8. أصغر عنصر هو -8.

$$ x < 20 \text{ (لأن جميع عناصر E أصغر من 20)} $$

$$ x \ge -8 \text{ (لأن أصغر عنصر في E هو -8)} $$

$$ x \le 5 \text{ (مثلاً 8 > 5، لذا هذه ليست صحيحة دائمًا. بما أن x عنصر من E، يمكن أن يكون 8 أو 5، إلخ.)} $$

لتوضيح: بما أن 8 ينتمي إلى E و $ 8 > 5 $، فلا يمكن القول دائمًا $ x \le 5 $. الرمز المناسب يعتمد على ما إذا كان المقصود هو "لكل $ x \in E $". إذا كان "لكل"، فالأولى تكون $ x \le 8 $. ولكن إذا كانت مقارنة عامة:

إذا كان $x = 5$، فإن $x = 5$. إذا كان $x=8$، فإن $x>5$. إذا كان $x=-1$, فإن $x<5$. لا يمكن تحديد رمز واحد لكامل عناصر المجموعة $E$. يجب أن يكون السؤال محددًا لعنصر واحد أو خاصية لكل العناصر.

بافتراض أن السؤال يقصد العلاقة التي تنطبق على جميع عناصر E أو علاقة محددة لعنصر عشوائي:

$$ x \le 8 \text{ (كل عناصر E أصغر من أو تساوي 8)} $$

$$ x < 12 \text{ (كل عناصر E أصغر من 12)} $$

ولكن إذا كان المقصود مقارنة $x$ (كعنصر واحد مجهول) مع الأرقام المعطاة، فإن الإجابة تعتمد على قيمة $x$. بالنظر إلى سياق السؤال، غالبًا ما يقصدون "لكل $x$ ينتمي إلى E".

2) كتابة عناصر المجموعات:

عناصر E مرتبة تصاعدياً: $ \{-8, -3, -1, 2, 3, 5, 8\} $.

$ M = \{ x \in E \mid x \le 2 \} $

العناصر في E التي هي أصغر من أو تساوي 2 هي: $ -8, -3, -1, 2 $.

$$ M = \{-8, -3, -1, 2\} $$

$ N = \{ x \in E \mid |x| < 3 \} $

نحسب القيم المطلقة لعناصر E:

$$ |-1|=1, |-8|=8, |-3|=3, |5|=5, |2|=2, |3|=3, |8|=8 $$

العناصر التي قيمتها المطلقة أصغر من 3 هي: $ -1, 2 $ (لأن $|-1|=1 < 3$ و $|2|=2 < 3$).

$$ N = \{-1, 2\} $$

$ M \cap N $: العناصر المشتركة بين $ M $ و $ N $.

$$ M \cap N = \{-1, 2\} $$

تصحيح تمرين عدد 5:

1) نشر واختصار العبارات:

العبارة A:

$$ A = 2(x-5) - 3(2x-7) + 4(6-x) $$

$$ A = 2x - 10 - 6x + 21 + 24 - 4x $$

$$ A = (2x - 6x - 4x) + (-10 + 21 + 24) $$

$$ A = -8x + 35 $$

العبارة B:

$$ B = (-2) \times (-21+x-y) $$

$$ B = (-2) \times (-21) + (-2) \times x + (-2) \times (-y) $$

$$ B = 42 - 2x + 2y $$

العبارة C:

$$ C = x.(2 - y) - 2y.(3 + x) $$

$$ C = 2x - xy - 6y - 2xy $$

$$ C = 2x - 3xy - 6y $$

العبارة D:

$$ D = (5x-3).(-1-2y) $$

$$ D = 5x(-1) + 5x(-2y) - 3(-1) - 3(-2y) $$

$$ D = -5x - 10xy + 3 + 6y $$

العبارة E:

$$ E = (2x-1)xy - (x-3)(5-2y) $$

$$ E = 2x^2y - xy - (x \times 5 + x \times -2y - 3 \times 5 - 3 \times -2y) $$

$$ E = 2x^2y - xy - (5x - 2xy - 15 + 6y) $$

$$ E = 2x^2y - xy - 5x + 2xy + 15 - 6y $$

$$ E = 2x^2y + xy - 5x - 6y + 15 $$

العبارة F:

$$ F = 3(x-5) + 2(2x-1)(x+4) $$

$$ F = 3x - 15 + 2[(2x \times x) + (2x \times 4) + (-1 \times x) + (-1 \times 4)] $$

$$ F = 3x - 15 + 2[2x^2 + 8x - x - 4] $$

$$ F = 3x - 15 + 2[2x^2 + 7x - 4] $$

$$ F = 3x - 15 + 4x^2 + 14x - 8 $$

$$ F = 4x^2 + (3x + 14x) + (-15 - 8) $$

$$ F = 4x^2 + 17x - 23 $$

العبارة G:

$$ G = (6y-3) \times 2x - (5-3x)(2y-7) $$

$$ G = 12xy - 6x - (5 \times 2y + 5 \times -7 - 3x \times 2y - 3x \times -7) $$

$$ G = 12xy - 6x - (10y - 35 - 6xy + 21x) $$

$$ G = 12xy - 6x - 10y + 35 + 6xy - 21x $$

$$ G = (12xy + 6xy) + (-6x - 21x) - 10y + 35 $$

$$ G = 18xy - 27x - 10y + 35 $$

2) أ) تفكيك إلى جداء عوامل:

العبارة A:

$$ A = 3ab - 2a = a(3b - 2) $$

العبارة B:

$$ B = 2ab - 6b + 8a $$

العامل المشترك هو 2:

$$ B = 2(ab - 3b + 4a) $$

العبارة C:

$$ C = 3a - 12b + 24 $$

العامل المشترك هو 3:

$$ C = 3(a - 4b + 8) $$

العبارة D:

$$ D = 16a + 8b $$

العامل المشترك هو 8:

$$ D = 8(2a + b) $$

العبارة E:

$$ E = 15a + 25b - 5 $$

العامل المشترك هو 5:

$$ E = 5(3a + 5b - 1) $$

العبارة F:

$$ F = 9a + 18ab $$

العامل المشترك هو $ 9a $:

$$ F = 9a(1 + 2b) $$

العبارة G:

$$ G = 3(a-2) - 5(a-2) $$

العامل المشترك هو $ (a-2) $:

$$ G = (a-2)(3 - 5) $$

$$ G = (a-2)(-2) $$

$$ G = -2(a-2) $$

العبارة H:

$$ H = (2a-5)(3a+4) + (2a-5)(a+6) $$

العامل المشترك هو $ (2a-5) $:

$$ H = (2a-5)[(3a+4) + (a+6)] $$

$$ H = (2a-5)[3a+4+a+6] $$

$$ H = (2a-5)(4a+10) $$

يمكن استخراج 2 كعامل مشترك من $ (4a+10) $:

$$ H = (2a-5) \times 2(2a+5) $$

$$ H = 2(2a-5)(2a+5) $$

$$ H = 2(4a^2 - 25) $$

العبارة I:

$$ I = (3-7a)(1-3a) - (7a-3)(2a-5) $$

نلاحظ أن $ (7a-3) = -(3-7a) $:

$$ I = (3-7a)(1-3a) - (-(3-7a))(2a-5) $$

$$ I = (3-7a)(1-3a) + (3-7a)(2a-5) $$

العامل المشترك هو $ (3-7a) $:

$$ I = (3-7a)[(1-3a) + (2a-5)] $$

$$ I = (3-7a)[1-3a+2a-5] $$

$$ I = (3-7a)(-a-4) $$

$$ I = -(3-7a)(a+4) $$

$$ I = (7a-3)(a+4) $$

العبارة J:

$$ J = 7(2a-5) - (2a+1)(5-2a) $$

نلاحظ أن $ (5-2a) = -(2a-5) $:

$$ J = 7(2a-5) - (2a+1)(-(2a-5)) $$

$$ J = 7(2a-5) + (2a+1)(2a-5) $$

العامل المشترك هو $ (2a-5) $:

$$ J = (2a-5)[7 + (2a+1)] $$

$$ J = (2a-5)[7+2a+1] $$

$$ J = (2a-5)(2a+8) $$

يمكن استخراج 2 كعامل مشترك من $ (2a+8) $:

$$ J = (2a-5) \times 2(a+4) $$

$$ J = 2(2a-5)(a+4) $$

العبارة K:

$$ K = (2a+1)(a+1) - (6a+3)(4a+3) - 8a + 4 $$

نُبسّط كل جزء:

$$ (2a+1)(a+1) = 2a^2 + 2a + a + 1 = 2a^2 + 3a + 1 $$

نلاحظ أن $ (6a+3) = 3(2a+1) $:

$$ (6a+3)(4a+3) = 3(2a+1)(4a+3) $$

$$ = 3(8a^2 + 6a + 4a + 3) $$

$$ = 3(8a^2 + 10a + 3) $$

$$ = 24a^2 + 30a + 9 $$

الآن نجمع كل الأجزاء:

$$ K = (2a^2 + 3a + 1) - (24a^2 + 30a + 9) - 8a + 4 $$

$$ K = 2a^2 + 3a + 1 - 24a^2 - 30a - 9 - 8a + 4 $$

$$ K = (2a^2 - 24a^2) + (3a - 30a - 8a) + (1 - 9 + 4) $$

$$ K = -22a^2 - 35a - 4 $$

هذا التعبير هو ثلاثي حدود من الدرجة الثانية. تفكيكه إلى جداء عوامل ليس سهلاً مباشرة من خلال العامل المشترك البسيط. (قد يتطلب حل معادلة من الدرجة الثانية أو تفكيكًا معقدًا).

ب) إيجاد العدد $ a $ في كل حالة:

الحالة $ J=H $ :

لدينا $ J = 2(2a-5)(a+4) $ و $ H = 2(2a-5)(2a+5) $.

$$ 2(2a-5)(a+4) = 2(2a-5)(2a+5) $$

إذا كان $ 2a-5 \ne 0 $ (أي $ a \ne 5/2 $)، يمكننا القسمة على $ 2(2a-5) $:

$$ a+4 = 2a+5 $$

$$ 4 - 5 = 2a - a $$

$$ -1 = a $$

إذا كان $ 2a-5 = 0 $ (أي $ a = 5/2 $)، فإن $ J=0 $ و $ H=0 $، وبالتالي $ J=H $. لذا $ a = 5/2 $ هو حل أيضًا.

إذن حلول المعادلة $ J=H $ هي $ a=-1 $ أو $ a=5/2 $.

الحالة $ H=0 $ :

لدينا $ H = 2(2a-5)(2a+5) $.

$$ 2(2a-5)(2a+5) = 0 $$

هذا يعني أن $ 2a-5=0 $ أو $ 2a+5=0 $.

$$ 2a = 5 \implies a = \frac{5}{2} $$

$$ 2a = -5 \implies a = -\frac{5}{2} $$

إذن حلول المعادلة $ H=0 $ هي $ a = \frac{5}{2} $ أو $ a = -\frac{5}{2} $.

الحالة $ I=0 $ :

لدينا $ I = (7a-3)(a+4) $.

$$ (7a-3)(a+4) = 0 $$

هذا يعني أن $ 7a-3=0 $ أو $ a+4=0 $.

$$ 7a = 3 \implies a = \frac{3}{7} $$

$$ a = -4 $$

إذن حلول المعادلة $ I=0 $ هي $ a = \frac{3}{7} $ أو $ a = -4 $.

الحالة $ G=0 $ :

لدينا $ G = -2(a-2) $.

$$ -2(a-2) = 0 $$

هذا يعني أن $ a-2=0 $.

$$ a = 2 $$

إذن حل المعادلة $ G=0 $ هو $ a = 2 $.