لمقارنة تعبيرين جبريين A و B، نحسب الفرق A - B ونحدد إشارته:
إذا كان $$A - B < 0$$ فإن $$A < B$$
إذا كان $$A - B = 0$$ فإن $$A = B$$
سلسلة تمارين حول المقارنة في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية
قارن الأعداد التالية:
نحسب الفرق: $$(-78) - (-103) = -78 + 103 = 25 > 0$$
النتيجة: $$-78 > -103$$
نحسب الفرق: $$15 - (-1) = 15 + 1 = 16 > 0$$
النتيجة: $$15 > -1$$
نحسب الفرق: $$(-17) - 0 = -17 < 0$$
النتيجة: $$-17 < 0$$
نحسب الفرق: $$(-5) - (-3) = -5 + 3 = -2 < 0$$
النتيجة: $$-5 < -3$$
نبحث عن أكبر عدد صحيح $$n$$ بحيث $$n < -10$$
الأعداد الصحيحة الأصغر من $$-10$$ هي: $$..., -13, -12, -11$$
الإجابة: $$-11$$
على خط الأعداد: $$... -13 < -12 < -11 < -10$$
$$-11$$ هو أكبر عدد صحيح يقع يسار $$-10$$
نبحث عن أصغر عدد صحيح $$m$$ بحيث $$m > -21$$
الأعداد الصحيحة الأكبر من $$-21$$ هي: $$-20, -19, -18, ...$$
الإجابة: $$-20$$
على خط الأعداد: $$-21 < -20 < -19 < -18 < ...$$
$$-20$$ هو أصغر عدد صحيح يقع يمين $$-21$$
الطريقة: نفصل الأعداد إلى مجموعات ونرتب كل مجموعة
أعداد سالبة: $$-11, -3$$
الصفر: $$0$$
أعداد موجبة: $$+561, +7, +14, 25, +18$$
ترتيب الأعداد السالبة: $$-11 < -3$$ (الأكبر مقدارا أصغر قيمة)
ترتيب الأعداد الموجبة: $$+7 < +14 < +18 < 25 < +561$$
$$-11 < -3 < 0 < +7 < +14 < +18 < 25 < +561$$
نلاحظ أن $$+6 = 6$$ (نفس العدد بصيغتين مختلفتين)
أعداد سالبة: $$-7$$
أعداد موجبة: $$+13, +6, +27, 23, +15, 20$$
ترتيب الأعداد الموجبة تنازليا: $$+27 > 23 > 20 > +15 > +13 > +6$$
$$+27 > 23 > 20 > +15 > +13 > +6 > -7$$
تمارين المقارنة مع المتغيرات
ليكن $$x$$ عدد صحيح نسبي. قارن معللا جوابك في كل مرة:
نحسب الفرق: $$(x + 13) - (x + 5) = x + 13 - x - 5 = 8$$
بما أن $$8 > 0$$، فإن $$x + 13 > x + 5$$
إذا كان $$x = 10$$: $$(10 + 13) = 23$$ و $$(10 + 5) = 15$$
فعلا $$23 > 15$$ ✓
نحسب الفرق: $$(x + 9) - (x - 2) = x + 9 - x + 2 = 11$$
بما أن $$11 > 0$$، فإن $$x + 9 > x - 2$$
إذا كان $$x = -5$$: $$(-5 + 9) = 4$$ و $$(-5 - 2) = -7$$
فعلا $$4 > -7$$ ✓
نحسب الفرق: $$(-4 - x) - (3 - x) = -4 - x - 3 + x = -7$$
بما أن $$-7 < 0$$، فإن $$-4 - x < 3 - x$$
إذا كان $$x = 2$$: $$(-4 - 2) = -6$$ و $$(3 - 2) = 1$$
فعلا $$-6 < 1$$ ✓
إذا كان $$a > b$$ فإن $$a + c > b + c$$ لأي عدد $$c$$
ليكن $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $$a > b$$. قارن معللا جوابك في كل مرة:
نحسب الفرق: $$(a + 8) - (b + 8) = a + 8 - b - 8 = a - b$$
بما أن $$a > b$$، فإن $$a - b > 0$$
النتيجة: $$a + 8 > b + 8$$
نحسب الفرق: $$(a - 17) - (b - 17) = a - 17 - b + 17 = a - b$$
بما أن $$a > b$$، فإن $$a - b > 0$$
النتيجة: $$a - 17 > b - 17$$
نحسب الفرق: $$(7 - b) - (7 - a) = 7 - b - 7 + a = a - b$$
بما أن $$a > b$$، فإن $$a - b > 0$$
النتيجة: $$7 - b > 7 - a$$
إذا كان $$a > b$$ فإن $$c - a < c - b$$
نحسب الفرق: $$(5 - b) - (3 - a) = 5 - b - 3 + a = 2 + a - b$$
بما أن $$a > b$$، فإن $$a - b > 0$$، وبالتالي $$2 + a - b > 2 > 0$$
النتيجة: $$5 - b > 3 - a$$
ليكن $$a = 10$$ و $$b = 3$$ (حيث $$10 > 3$$)
$$(5 - 3) = 2$$ و $$(3 - 10) = -7$$
فعلا $$2 > -7$$ ✓
نحسب الفرق: $$(a + 14) - (b - 2) = a + 14 - b + 2 = a - b + 16$$
بما أن $$a > b$$، فإن $$a - b > 0$$، وبالتالي $$a - b + 16 > 16 > 0$$
النتيجة: $$a + 14 > b - 2$$
ليكن $$x$$ و $$y$$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $$x - y = -5$$. قارن معللا جوابك في كل مرة:
هذا يعني أن $$x = y - 5$$ أو $$y = x + 5$$
بعبارة أخرى: $$y > x$$ (لأن $$y - x = 5 > 0$$)
نحسب الفرق: $$y - x = -(x - y) = -(-5) = 5 > 0$$
النتيجة: $$y > x$$
نحسب الفرق: $$(y + 1) - (x - 7) = y + 1 - x + 7 = y - x + 8$$
بما أن $$y - x = 5$$، فإن $$y - x + 8 = 5 + 8 = 13 > 0$$
النتيجة: $$y + 1 > x - 7$$
نحسب الفرق: $$(-8 - y) - (-3 - x) = -8 - y + 3 + x = x - y - 5$$
بما أن $$x - y = -5$$، فإن $$x - y - 5 = -5 - 5 = -10 < 0$$
النتيجة: $$-8 - y < -3 - x$$
نحسب الفرق: $$(y + 1) - (x + 6) = y + 1 - x - 6 = y - x - 5$$
بما أن $$y - x = 5$$، فإن $$y - x - 5 = 5 - 5 = 0$$
النتيجة: $$y + 1 = x + 6$$
ليكن $$x = 2$$ و $$y = 7$$ (حيث $$x - y = 2 - 7 = -5$$ ✓)
$$(y + 1) = 7 + 1 = 8$$ و $$(x + 6) = 2 + 6 = 8$$
فعلا $$8 = 8$$ ✓
ليكن $$x$$ و $$y$$ عددان صحيحان نسبيان و ليكن المتغيران $$A$$ و $$B$$ حيث:
خطوة 1: نحذف الأقواس تدريجيا
$$A = -(x - 8 + y) - [x - (5 + y)] + (x - y - 3) + x$$
$$A = -(x - 8 + y) - [x - 5 - y] + (x - y - 3) + x$$
خطوة 2: نطبق قانون توزيع العلامة
$$A = -x + 8 - y - x + 5 + y + x - y - 3 + x$$
خطوة 3: نجمع الحدود المتشابهة
حدود $$x$$: $$-x - x + x + x = 0$$
حدود $$y$$: $$-y + y - y = -y$$
الثوابت: $$8 + 5 - 3 = 10$$
النتيجة: $$A = 10 - y$$ ✓
خطوة 1: نبسط ما بداخل الأقواس المربعة
$$B = (x - 2) - [8 - (x - y) - (3 - x + y)]$$
$$B = (x - 2) - [8 - x + y - 3 + x - y]$$
$$B = (x - 2) - [8 - 3 + (-x + x) + (y - y)]$$
$$B = (x - 2) - [5 + 0 + 0]$$
$$B = (x - 2) - 5$$
خطوة 2: نحذف الأقواس ونبسط
$$B = x - 2 - 5 = x - 7$$
النتيجة: $$B = x - 7$$ ✓
نعوض في الصيغة المبسطة: $$A = 10 - y$$
$$A = 10 - (-10) = 10 + 10 = 20$$
يمكننا التحقق بالتعويض المباشر في التعبير الأصلي
عندما $$y = -10$$ وليكن $$x = 0$$ (أي قيمة)
نجد أن النتيجة هي فعلا $$20$$ ✓
• $$-(a + b) = -a - b$$
• $$-(a - b) = -a + b$$
• $$a - (b + c) = a - b - c$$
• $$a - (b - c) = a - b + c$$
سلسلة تمارين حول الجمع والطرح في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية
احسب $$x - y$$ إذا علمت أن $$a$$ و $$b$$ متقابلان
عددان متقابلان إذا كان مجموعهما يساوي الصفر
إذا كان $$a$$ و $$b$$ متقابلين، فإن $$a + b = 0$$
أي أن $$b = -a$$ أو $$a = -b$$
السؤال يحتوي على خطأ في الصياغة!
المطلوب هو حساب $$x - y$$ ولكن المعطى يتحدث عن $$a$$ و $$b$$
نفترض أن السؤال يقصد: "احسب $$a - b$$ إذا علمت أن $$a$$ و $$b$$ متقابلان"
إذا كان $$a$$ و $$b$$ متقابلين، فإن $$a + b = 0$$
وبالتالي $$a = -b$$
$$a - b = -b - b = -2b$$
أو $$a - b = a - (-a) = a + a = 2a$$
إذا كان $$a = 5$$ و $$b = -5$$ (متقابلان)
فإن $$a - b = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10 = 2a$$ ✓
وأيضا $$a - b = 10 = -2(-5) = -2b$$ ✓
ليكن المتغيران $$E$$ و $$F$$ حيث $$x$$ و $$y$$ عددان صحيحان نسبيان:
خطوة 1: نبسط ما بداخل الأقواس المربعة
$$E = -(x - 7 + y - 8) + [2 - x - (7 - x - y + 5)]$$
$$E = -(x - 7 + y - 8) + [2 - x - (12 - x - y)]$$
$$E = -(x - 7 + y - 8) + [2 - x - 12 + x + y]$$
$$E = -(x - 7 + y - 8) + [y - 10]$$
خطوة 2: نطبق قانون توزيع العلامة
$$E = -x + 7 - y + 8 + y - 10$$
خطوة 3: نجمع الحدود المتشابهة
$$E = -x + (-y + y) + (7 + 8 - 10) = -x + 0 + 5 = 5 - x$$
النتيجة: $$E = 5 - x$$ ✓
خطوة 1: نبسط الأقواس المربعة الأولى
$$F = [24 - x - (y - x) + (17 + y - x)] - (14 - x + y + 24)$$
$$F = [24 - x - y + x + 17 + y - x] - (38 - x + y)$$
$$F = [41 - x] - (38 - x + y)$$
خطوة 2: نحذف الأقواس
$$F = 41 - x - 38 + x - y$$
$$F = (41 - 38) + (-x + x) - y = 3 - y$$
النتيجة: $$F = 3 - y$$ ✓
إذا كان $$|y| = 3$$، فإن $$y = 3$$ أو $$y = -3$$
الحالة 1: إذا كان $$y = 3$$
$$F = 3 - y = 3 - 3 = 0$$
الحالة 2: إذا كان $$y = -3$$
$$F = 3 - y = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$$
الإجابة: $$F = 0$$ أو $$F = 6$$
نعوض في الصيغة المبسطة: $$E = 5 - x$$
$$-5 = 5 - x$$
$$x = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10$$
الإجابة: $$x = 10$$
إذا كان $$x = 10$$، فإن $$E = 5 - 10 = -5$$ ✓
إذا كان $$x$$ و $$y$$ متقابلين، فإن $$x + y = 0$$، أي $$y = -x$$
$$E + F = (5 - x) + (3 - y)$$
$$E + F = 5 - x + 3 - y = 8 - x - y$$
بما أن $$x + y = 0$$، فإن $$x + y = 0$$ وبالتالي $$-(x + y) = 0$$
$$E + F = 8 - (x + y) = 8 - 0 = 8$$
الإجابة: $$E + F = 8$$
إذا كان $$E = F$$، فإن $$5 - x = 3 - y$$
$$5 - x = 3 - y$$
$$5 - 3 = x - y$$
$$x - y = 2$$
الإجابة: $$x - y = 2$$
ليكن $$x = 5$$ و $$y = 3$$ (حيث $$x - y = 2$$)
$$E = 5 - 5 = 0$$ و $$F = 3 - 3 = 0$$
فعلا $$E = F$$ ✓
• $$E = 5 - x$$
• $$F = 3 - y$$
• عندما $$|y| = 3$$: $$F = 0$$ أو $$F = 6$$
• عندما $$E = -5$$: $$x = 10$$
• عندما $$x$$ و $$y$$ متقابلان: $$E + F = 8$$
• عندما $$E = F$$: $$x - y = 2$$