📚 الرياضيات - فرض مراقبة عدد 2

السؤال 1:

نبحث عن مقلوب $\sqrt{2}\,a$:

المقلوب = $\dfrac{1}{\sqrt{2}\,a}$

بما أن $a \times b = \sqrt{2}$، فإن $b = \dfrac{\sqrt{2}}{a}$

نعوض: $\dfrac{1}{\sqrt{2}\,a} = \dfrac{1}{\sqrt{2}\,a} \times \dfrac{b}{b} = \dfrac{b}{\sqrt{2}\,a \times b} = \dfrac{b}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{b}{2}$

السؤال 2:

$2\sqrt{50} = 2\sqrt{25 \times 2} = 2 \times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

$3\sqrt{32} = 3\sqrt{16 \times 2} = 3 \times 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

المجموع: $10\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 22\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$

السؤال 3:

إنطاق المقام: $\dfrac{2\sqrt{3}}{5 - 2\sqrt{3}} \times \dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{5 + 2\sqrt{3}}$

البسط: $2\sqrt{3}(5 + 2\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} + 4 \times 3 = 10\sqrt{3} + 12$

المقام: $(5 - 2\sqrt{3})(5 + 2\sqrt{3}) = 25 - 12 = 13$

الناتج: $\dfrac{10\sqrt{3} + 12}{13}$

السؤال 4:

نعلم أن $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$، إذن $\sqrt{2} - 1 > 0$

نعلم أن $\pi \approx 3.14 > 2$، إذن $\pi - 2 > 0$

إذن: $\left|\sqrt{2} - 1\right| - \left|\pi - 2\right| = (\sqrt{2} - 1) - (\pi - 2) = \sqrt{2} - 1 - \pi + 2 = \sqrt{2} + 1 - \pi$

بما أن $\sqrt{2} + 1 \approx 2.414 < \pi \approx 3.14$

السؤال 5:

المثلثان $ABD$ و $ADC$ يشتركان في نفس الارتفاع من $A$ على $[BC]$

نسبة المساحات تساوي نسبة القاعدتين: $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{BD}{DC}$

أي: $BD \times S_{ADC} = DC \times S_{ABD}$ (وليس $BD \times S_{ABD} = DC \times S_{ADC}$)

السؤال 1: حساب $a$

$a = -9 - \left[-5 - \left(7 - \sqrt{7}\right)\right] - \left(2\sqrt{7} - 5\right)$

$= -9 - \left[-5 - 7 + \sqrt{7}\right] - 2\sqrt{7} + 5$

$= -9 - \left[-12 + \sqrt{7}\right] - 2\sqrt{7} + 5$

$= -9 + 12 - \sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 5$

$= 8 - 3\sqrt{7}$ ✓

حساب $b$:

$b = \left(2 - \sqrt{7}\right)\left(1 - \sqrt{7}\right) + 6\sqrt{7} - 1$

$= 2 - 2\sqrt{7} - \sqrt{7} + 7 + 6\sqrt{7} - 1$

$= 2 + 7 - 1 + (-2\sqrt{7} - \sqrt{7} + 6\sqrt{7})$

$= 8 + 3\sqrt{7}$ ✓

السؤال 2أ: إثبات أن $a$ مقلوب $b$

نحسب: $a \times b = (8 - 3\sqrt{7})(8 + 3\sqrt{7})$

باستخدام $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$a \times b = 64 - 9 \times 7 = 64 - 63 = 1$

بما أن $a \times b = 1 > 0$، فإن $a$ و $b$ لهما نفس الإشارة

بما أن $b = 8 + 3\sqrt{7} > 0$ (لأن كلا الحدين موجبان)

إذن $a = 8 - 3\sqrt{7} > 0$

السؤال 2ب: حساب $|a| \times |b|$

بما أن $a > 0$ و $b > 0$:

$|a| \times |b| = a \times b = 1$

السؤال 2ج:

$\sqrt{7}\left(\dfrac{1}{8 - 3\sqrt{7}} - \dfrac{1}{8 + 3\sqrt{7}}\right)$

$= \sqrt{7}\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right)$

$= \sqrt{7}\left(\dfrac{b - a}{a \times b}\right)$

$= \sqrt{7}\left(\dfrac{(8 + 3\sqrt{7}) - (8 - 3\sqrt{7})}{1}\right)$

$= \sqrt{7} \times 6\sqrt{7} = 6 \times 7 = 42$

السؤال 3أ: حساب $c$

$c = \sqrt{28} - \sqrt{175} - 2\sqrt{64}$

$= \sqrt{4 \times 7} - \sqrt{25 \times 7} - 2 \times 8$

$= 2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 16$

$= -3\sqrt{7} - 16 = -16 - 3\sqrt{7}$ ✓

السؤال 3ب: إثبات أن $b$ و $c + 8$ متقابلان

$c + 8 = -16 - 3\sqrt{7} + 8 = -8 - 3\sqrt{7}$

$b = 8 + 3\sqrt{7}$

$b + (c + 8) = (8 + 3\sqrt{7}) + (-8 - 3\sqrt{7}) = 0$

السؤال 3ج:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{c + 8}{b}$

بما أن $c + 8 = -b$:

$= \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{-b}{b}$

$= \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + 1$

بما أن $a \times b = 1$، فإن $\dfrac{1}{a} = b$ و $\dfrac{1}{b} = a$:

$= b + a + 1$

$= (8 + 3\sqrt{7}) + (8 - 3\sqrt{7}) + 1$

$= 17$

السؤال 1أ: إثبات $\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{EF}{EC} = \dfrac{AF}{DC}$

معطيات:

• $ABCD$ متوازي أضلاع، إذن $(AB) \parallel (DC)$
• $\Delta$ يمر من $C$ وعمودي على $(AB)$
• $E$ على $(AB)$ و $F$ على $[AB]$

بما أن $(AB) \parallel (DC)$ والمستقيم $\Delta = (EC)$ يقطعهما:

نطبق نظرية طاليس في الشكل $EDC$ حيث:

• $E$ على $(AB)$ و $D$ على $DC$
• $(EF) \parallel (DC)$ لأن كلاهما عمودي على $\Delta$

السؤال 1ب: إثبات $\dfrac{FB}{FA} = \dfrac{FC}{FE} = \dfrac{BC}{AE}$

في متوازي الأضلاع $ABCD$: $(AD) \parallel (BC)$

المستقيم $\Delta = (FC)$ يقطع $(AD)$ و $(BC)$

$F$ على $[AB]$ بين $A$ و $B$

السؤال 1ج: استنتاج $\dfrac{EC}{DC} = \dfrac{FC}{FB}$

من السؤال 1أ: $\dfrac{EF}{EC} = \dfrac{AF}{DC}$

إذن: $\dfrac{EC}{EF} = \dfrac{DC}{AF}$ ... (1)

من السؤال 1ب: $\dfrac{FC}{FE} = \dfrac{BC}{AE}$

في متوازي الأضلاع: $BC = AD$ و $AE = AF + FE$

بالجمع والتبسيط:

السؤال 2أ: إثبات أن $H$ منتصف $[EC]$

معطيات:

• $M$ منتصف $[DC]$، إذن $DM = MC$
• $(MH) \parallel (ED)$
• $H$ على $[EC]$

في المثلث $EDC$:

• $M$ منتصف $[DC]$
• $(MH) \parallel (ED)$

السؤال 2ب: إثبات $\dfrac{CM}{CD} = \dfrac{CH}{CE} = \dfrac{1}{2}$

$M$ منتصف $[DC]$، إذن $CM = \dfrac{DC}{2}$

إذن: $\dfrac{CM}{CD} = \dfrac{1}{2}$ ✓

$H$ منتصف $[EC]$ (من السؤال 2أ)، إذن $CH = \dfrac{EC}{2}$

السؤال 2ج: استنتاج $\dfrac{CH}{CM} = \dfrac{FC}{FB}$

من السؤال 1ج: $\dfrac{EC}{DC} = \dfrac{FC}{FB}$ ... (1)

من السؤال 2ب: $\dfrac{CH}{CE} = \dfrac{CM}{CD} = \dfrac{1}{2}$

إذن: $CH = \dfrac{EC}{2}$ و $CM = \dfrac{DC}{2}$

نقسم: $\dfrac{CH}{CM} = \dfrac{\frac{EC}{2}}{\frac{DC}{2}} = \dfrac{EC}{DC}$

السؤال 3أ: إثبات $(MK) \parallel (CE)$ و $MK = CH$

معطيات:

• $K$ منتصف $[DE]$
• $M$ منتصف $[DC]$

في المثلث $DEC$:

• $M$ منتصف $[DC]$
• $K$ منتصف $[DE]$

بما أن $H$ منتصف $[EC]$، فإن $CH = \dfrac{CE}{2}$

السؤال 3ب: استنتاج أن $MCHK$ مستطيل

لإثبات أن $MCHK$ مستطيل، نثبت أنه متوازي أضلاع وله زاوية قائمة:

1) $MCHK$ متوازي أضلاع:

• $(MK) \parallel (CH)$ لأن كلاهما على المستقيم $(CE)$ أو يوازيه
• $MK = CH$ (من السؤال 3أ)

إذن $MCHK$ متوازي أضلاع (ضلعان متوازيان ومتساويان)

2) له زاوية قائمة:

• $(MH) \parallel (ED)$ (معطى)
• $\Delta = (EC) \perp (AB)$ (معطى)
• في المثلث $DEC$: $(ED)$ و $(EC)$ يشكلان زاوية
• $\Delta$ عمودي على $(AB)$ إذن عمودي على $D$ أيضاً
• الزاوية $\widehat{MHC}$ قائمة