📐 تمارين الرياضيات المتقدمة

المجموعات والعبارات الجبرية

التمرين الثاني

5 نقاط

نعتبر المجموعة E:
\[ E = \left \{ \frac{-6}{-75} \, ; \, 0 \, ; \, \frac{-245}{140} \, ; \, 0.45 \, ; \, \frac{121}{-11} \right \} \]
1) أتمم بـ ∈، ∉، ⊂ أو ⊄:
\[ \left \{ \frac{2}{25} \, ; \, \frac{1}{15} \, ; \, \frac{-7}{4} \right \} \ldots E \]
\[ \frac{-245}{140} \ldots \mathbb{D} \]
\[ -11 \ldots E \]
2) أوجد المجموعات التالية:
\[ E \cap \mathbb{D} = \ldots \]
\[ \mathbb{N}^* \cup \mathbb{Q} = \ldots \]
F مجموعة الأعداد الكسرية x المنتمية إلى E بحيث |x| = x
\[ F = \ldots \]
G مجموعة الأعداد الكسرية x المنتمية إلى E بحيث \(|x| = \frac{7}{4}\)
\[ G = \ldots \]
3) حول كل عدد عشري غير صحيح من المجموعة E على صورة \(\frac{a}{10^n}\) حيث \(a \in \mathbb{Z}\) و \(n \in \mathbb{N}\)
أولاً: تبسيط عناصر المجموعة E
\[ \frac{-6}{-75} = \frac{6}{75} = \frac{2 \times 3}{25 \times 3} = \frac{2}{25} = 0.08 \]
\[ \frac{-245}{140} = \frac{-245}{140} = \frac{-49 \times 5}{28 \times 5} = \frac{-49}{28} = \frac{-7 \times 7}{4 \times 7} = \frac{-7}{4} = -1.75 \]
\[ \frac{121}{-11} = \frac{121}{-11} = \frac{11 \times 11}{-11} = -11 \]
\[ E = \left \{ \frac{2}{25} \, ; \, 0 \, ; \, \frac{-7}{4} \, ; \, 0.45 \, ; \, -11 \right \} \]
1) الإتمام:
نفحص كل عنصر في المجموعة المعطاة:
• \(\frac{2}{25}\) موجود في E ✓
• \(\frac{1}{15}\) غير موجود في E ✗
• \(\frac{-7}{4}\) موجود في E ✓
\[ \left \{ \frac{2}{25} \, ; \, \frac{1}{15} \, ; \, \frac{-7}{4} \right \} \not\subset E \]
\[ \frac{-245}{140} = \frac{-7}{4} = -1.75 \in \mathbb{D} \]
\[ -11 \in E \text{ (لأن } \frac{121}{-11} = -11\text{)} \]
2) إيجاد المجموعات:
جميع عناصر E هي أعداد عشرية:
\[ E \cap \mathbb{D} = E = \left \{ \frac{2}{25} \, ; \, 0 \, ; \, \frac{-7}{4} \, ; \, 0.45 \, ; \, -11 \right \} \]
\[ \mathbb{N}^* \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q} \text{ (لأن } \mathbb{N}^* \subset \mathbb{Q}\text{)} \]
F = {x ∈ E | |x| = x} (أي الأعداد غير السالبة):
\[ F = \left \{ \frac{2}{25} \, ; \, 0 \, ; \, 0.45 \right \} \]
G = {x ∈ E | |x| = 7/4} (أي x = ±7/4):
\[ G = \left \{ \frac{-7}{4} \right \} \]
3) تحويل الأعداد العشرية غير الصحيحة:
\[ \frac{2}{25} = \frac{2 \times 4}{25 \times 4} = \frac{8}{100} = \frac{8}{10^2} \]
\[ \frac{-7}{4} = \frac{-7 \times 25}{4 \times 25} = \frac{-175}{100} = \frac{-175}{10^2} \]
\[ 0.45 = \frac{45}{100} = \frac{45}{10^2} \]

التمرين الثالث

4 نقاط

1) أ/ أنشر ثم اختصر العبارة A حيث x عدد صحيح نسبي
\[ A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x) \]
ب/ فكك A إلى جداء عوامل
2) لتكن العبارة B التالية
\[ B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20 \]
أ/ بين باستعمال التفكيك إلى جداء عوامل أن
\[ B = (2x - 4)(3x - 9) \]
ب/ أوجد العدد الصحيح النسبي x حيث B = 0
1) أ/ نشر واختصار A:
\[ A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x) \]
نشر القوس الأول:
\[ -4(5x - 3) = -20x + 12 \]
نشر القوس الثاني:
\[ (3x - 2)(3 - 5x) = 3x \times 3 + 3x \times (-5x) + (-2) \times 3 + (-2) \times (-5x) \]
\[ = 9x - 15x^2 - 6 + 10x = -15x^2 + 19x - 6 \]
جمع الحدود:
\[ A = -20x + 12 + (-15x^2 + 19x - 6) \]
\[ A = -15x^2 + (-20x + 19x) + (12 - 6) \]
\[ A = -15x^2 - x + 6 \]
ب/ تفكيك A إلى جداء عوامل:
نعود إلى الشكل الأصلي ونلاحظ أن:
\[ (3 - 5x) = -(5x - 3) \]
\[ A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(-(5x - 3)) \]
\[ A = -4(5x - 3) - (3x - 2)(5x - 3) \]
نستخرج العامل المشترك (5x - 3):
\[ A = (5x - 3)[-4 - (3x - 2)] \]
\[ A = (5x - 3)(-4 - 3x + 2) \]
\[ A = (5x - 3)(-3x - 2) \]
\[ A = -(5x - 3)(3x + 2) \]
2) أ/ تبيان B باستعمال التفكيك:
\[ B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20 \]
نلاحظ أن:
\[ -10x + 20 = -10(x - 2) \]
\[ 2x - 4 = 2(x - 2) \]
\[ B = 2(x - 2)(3x - 4) - 10(x - 2) \]
نستخرج العامل المشترك (x - 2):
\[ B = (x - 2)[2(3x - 4) - 10] \]
\[ B = (x - 2)(6x - 8 - 10) \]
\[ B = (x - 2)(6x - 18) \]
\[ B = (x - 2) \times 6(x - 3) \]
\[ B = 6(x - 2)(x - 3) \]
نتحقق من المطلوب:
\[ (2x - 4)(3x - 9) = 2(x - 2) \times 3(x - 3) = 6(x - 2)(x - 3) \]
إذن B = (2x - 4)(3x - 9) ✓
ب/ إيجاد قيم x حيث B = 0:
\[ B = (2x - 4)(3x - 9) = 0 \]
لكي يكون الجداء = 0، يجب أن يكون أحد العاملين = 0:
الحالة الأولى: \(2x - 4 = 0\)
\[ 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \]
الحالة الثانية: \(3x - 9 = 0\)
\[ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \]
إذن قيم x التي تجعل B = 0 هي: x = 2 أو x = 3