ضرب الأعداد الصحيحة النسبية

التمرين رقم 1

أحسب الجداء $a \times b$ في كل مرة:

$a = 4, b = -11$
$a = 8, b = 5$
$a = 2, b = -6$
$a = 3, b = 4$
$a = 12, b = -6$
$a = 8, b = 9$
$a = 7, b = -3$
$a = 11, b = 5$
$a = 2, b = -3$

مفهوم ضرب الأعداد الصحيحة النسبية

ضرب الأعداد الصحيحة النسبية يعتمد على قاعدتين أساسيتين:

قواعد الإشارات في الضرب:

$$\begin{align} (+) \times (+) &= (+) \\ (-) \times (-) &= (+) \\ (+) \times (-) &= (-) \\ (-) \times (+) &= (-) \end{align}$$

القاعدة العامة: إذا كانت الإشارتان متشابهتان فالنتيجة موجبة، وإذا كانتا مختلفتان فالنتيجة سالبة.

الحلول التفصيلية:

$4 \times (-11) = -(4 \times 11) = -44$

إشارتان مختلفتان ← النتيجة سالبة

$8 \times 5 = 40$

إشارتان موجبتان ← النتيجة موجبة

$2 \times (-6) = -(2 \times 6) = -12$

إشارتان مختلفتان ← النتيجة سالبة

$3 \times 4 = 12$

إشارتان موجبتان ← النتيجة موجبة

$12 \times (-6) = -(12 \times 6) = -72$

إشارتان مختلفتان ← النتيجة سالبة

$8 \times 9 = 72$

إشارتان موجبتان ← النتيجة موجبة

$7 \times (-3) = -(7 \times 3) = -21$

إشارتان مختلفتان ← النتيجة سالبة

$11 \times 5 = 55$

إشارتان موجبتان ← النتيجة موجبة

$2 \times (-3) = -(2 \times 3) = -6$

إشارتان مختلفتان ← النتيجة سالبة

التمرين رقم 2

أحسب الجداء $a \times b$ إذا علمت أن:

$a = 3, b = 7$
$a = 1, b = 5$
$a = 12, b = 2$
$a = 4, b = 6$
$a = 3, b = 3$

ضرب الأعداد الموجبة

عندما تكون جميع الأعداد موجبة، فإن النتيجة تكون دائماً موجبة. هذا هو الحال الأبسط في ضرب الأعداد الصحيحة النسبية.

الخاصية:

$$\text{إذا كان } a > 0 \text{ و } b > 0 \text{ فإن } a \times b > 0$$

الحلول:

$3 \times 7 = 21$

$1 \times 5 = 5$

$12 \times 2 = 24$

$4 \times 6 = 24$

$3 \times 3 = 9$

التمرين رقم 3

أوجد جميع القيم الممكنة للأعداد $x$ و $y$ إذا علمت أن:

$xy = 12$
$xy = -28$
$xy = -16$
$xy = 45$

تحليل الأعداد إلى جداء عوامل

لإيجاد جميع الأزواج $(x, y)$ التي تحقق معادلة $xy = n$، نحتاج إلى تحليل العدد $n$ إلى جميع عوامله الممكنة مع مراعاة الإشارات.

قواعد مهمة:

إذا كان $xy > 0$ فإن $x$ و $y$ لهما نفس الإشارة
إذا كان $xy < 0$ فإن $x$ و $y$ لهما إشارتان مختلفتان
نعتبر جميع القواسم الموجبة والسالبة

الحلول التفصيلية:

1) $xy = 12$ (موجب):

القواسم الموجبة لـ 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}

\begin{align} (x, y) &\in \{(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), \\ &\quad (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -2), (-12, -1)\} \end{align}

2) $xy = -28$ (سالب):

القواسم لـ 28: {1, 2, 4, 7, 14, 28}

\begin{align} (x, y) &\in \{(1, -28), (2, -14), (4, -7), (7, -4), (14, -2), (28, -1), \\ &\quad (-1, 28), (-2, 14), (-4, 7), (-7, 4), (-14, 2), (-28, 1)\} \end{align}

3) $xy = -16$ (سالب):

القواسم لـ 16: {1, 2, 4, 8, 16}

\begin{align} (x, y) &\in \{(1, -16), (2, -8), (4, -4), (8, -2), (16, -1), \\ &\quad (-1, 16), (-2, 8), (-4, 4), (-8, 2), (-16, 1)\} \end{align}

4) $xy = 45$ (موجب):

القواسم الموجبة لـ 45: {1, 3, 5, 9, 15, 45}

\begin{align} (x, y) &\in \{(1, 45), (3, 15), (5, 9), (9, 5), (15, 3), (45, 1), \\ &\quad (-1, -45), (-3, -15), (-5, -9), (-9, -5), (-15, -3), (-45, -1)\} \end{align}

التمرين رقم 4

أحسب ما يلي:

$A = 2 \times 4 - 4 \times (9 + 8) \times 5$
$B = 21 \times 3 - 4 \times (9 - 5) \times 2$
$C = 7 \times 5 - 3 \times (11 - 5) \times 2$
$D = 8 \times 4 + (7 \times 11 - 5 \times 8) \times 4$

ترتيب العمليات الحسابية

عند حساب تعبير رياضي معقد، يجب احترام ترتيب العمليات المعروف باسم "PEMDAS" أو "BODMAS":

ترتيب الأولوية:

الأقواس - نحسب ما بداخل الأقواس أولاً
الضرب والقسمة - من اليسار إلى اليمين
الجمع والطرح - من اليسار إلى اليمين

الحلول خطوة بخطوة:

حساب A:

\begin{align} A &= 2 \times 4 - 4 \times (9 + 8) \times 5 \\ &= 2 \times 4 - 4 \times 17 \times 5 \\ &= 8 - 4 \times 17 \times 5 \\ &= 8 - 68 \times 5 \\ &= 8 - 340 \\ &= -332 \end{align}

حساب B:

\begin{align} B &= 21 \times 3 - 4 \times (9 - 5) \times 2 \\ &= 21 \times 3 - 4 \times 4 \times 2 \\ &= 63 - 16 \times 2 \\ &= 63 - 32 \\ &= 31 \end{align}

حساب C:

\begin{align} C &= 7 \times 5 - 3 \times (11 - 5) \times 2 \\ &= 7 \times 5 - 3 \times 6 \times 2 \\ &= 35 - 18 \times 2 \\ &= 35 - 36 \\ &= -1 \end{align}

حساب D:

\begin{align} D &= 8 \times 4 + (7 \times 11 - 5 \times 8) \times 4 \\ &= 8 \times 4 + (77 - 40) \times 4 \\ &= 32 + 37 \times 4 \\ &= 32 + 148 \\ &= 180 \end{align}

التمرين رقم 5

أحسب ما يلي:

$A = 2 \times 4 \times 3 \times 1 \times 5$
$B = 5 \times 2 \times 4 \times 3 \times 7 \times 30 \times 1 \times 2 \times 10 \times 7 \times 3$
$C = 30 \times 1 \times 3 \times 4 \times 7 \times 2$
$D = 30 \times 1 \times 3 \times 4 \times 7 \times 2$

خاصية الإبدال والتجميع في الضرب

الضرب يتمتع بخاصيتين مهمتين تسهلان الحساب:

الخصائص الأساسية:

خاصية الإبدال: $a \times b = b \times a$
خاصية التجميع: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
العنصر المحايد: $a \times 1 = a$
خاصية الصفر: $a \times 0 = 0$

يمكننا استخدام هذه الخصائص لترتيب العوامل بطريقة تسهل الحساب.

الحلول:

حساب A:

\begin{align} A &= 2 \times 4 \times 3 \times 1 \times 5 \\ &= (2 \times 4) \times (3 \times 5) \times 1 \\ &= 8 \times 15 \times 1 \\ &= 120 \end{align}

حساب B:

\begin{align} B &= 5 \times 2 \times 4 \times 3 \times 7 \times 30 \times 1 \times 2 \times 10 \times 7 \times 3 \\ &= (5 \times 2 \times 10) \times (4 \times 30) \times (3 \times 3) \times (7 \times 7) \times (2 \times 1) \\ &= 100 \times 120 \times 9 \times 49 \times 2 \\ &= 100 \times 120 \times 9 \times 98 \\ &= 10{,}584{,}000 \end{align}

حساب C:

\begin{align} C &= 30 \times 1 \times 3 \times 4 \times 7 \times 2 \\ &= 30 \times (3 \times 4) \times (7 \times 2) \times 1 \\ &= 30 \times 12 \times 14 \\ &= 360 \times 14 \\ &= 5{,}040 \end{align}

حساب D:

نلاحظ أن D يساوي C تماماً، لذا:

D = 5{,}040

التمرين رقم 6

أحسب بطريقتين مختلفتين:

$A = 3 \times 7 \times 12 \times 8$
$B = 5 \times 4 \times 2 \times 11 \times 6 \times 9 \times 4 \times 1$
$C = 7 \times 4 \times 11 \times 3$

استراتيجيات مختلفة للضرب

يمكن حساب جداء عدة أعداد بطرق مختلفة مستفيدين من خصائص الضرب:

الطرق المختلفة:

الترتيب المتسلسل: ضرب الأعداد بالترتيب المعطى
التجميع الذكي: تجميع الأعداد التي تعطي نتائج سهلة
التحليل إلى عوامل: تحليل بعض الأعداد لتسهيل الحساب

الحلول بطريقتين:

حساب A بطريقتين:

الطريقة الأولى (الترتيب المتسلسل):

\begin{align} A &= 3 \times 7 \times 12 \times 8 \\ &= 21 \times 12 \times 8 \\ &= 252 \times 8 \\ &= 2{,}016 \end{align}

الطريقة الثانية (التجميع الذكي):

\begin{align} A &= 3 \times 7 \times 12 \times 8 \\ &= (3 \times 12) \times (7 \times 8) \\ &= 36 \times 56 \\ &= 2{,}016 \end{align}

حساب B بطريقتين:

الطريقة الأولى (الترتيب المتسلسل):

\begin{align} B &= 5 \times 4 \times 2 \times 11 \times 6 \times 9 \times 4 \times 1 \\ &= 20 \times 2 \times 11 \times 6 \times 9 \times 4 \\ &= 40 \times 11 \times 6 \times 9 \times 4 \\ &= 95{,}040 \end{align}

الطريقة الثانية (التجميع الذكي):

\begin{align} B &= 5 \times 4 \times 2 \times 11 \times 6 \times 9 \times 4 \times 1 \\ &= (5 \times 2) \times (4 \times 4) \times (6 \times 9) \times 11 \times 1 \\ &= 10 \times 16 \times 54 \times 11 \\ &= 95{,}040 \end{align}

حساب C بطريقتين:

الطريقة الأولى:

\begin{align} C &= 7 \times 4 \times 11 \times 3 \\ &= 28 \times 11 \times 3 \\ &= 308 \times 3 \\ &= 924 \end{align}

الطريقة الثانية:

\begin{align} C &= 7 \times 4 \times 11 \times 3 \\ &= (7 \times 3) \times (4 \times 11) \\ &= 21 \times 44 \\ &= 924 \end{align}

التمرين رقم 7

أنشر ما يلي:

$A = 3(a + 2b - 3d)$
$B = 2(5a - b + 5d)$
$C = -2b(2a + c - 3d)$
$D = -3a(b - 2d + 4c)$
$E = 2c(a - 2b - d)$
$F = -2a(-c - 3b + 4d)$
$G = 5a(3b - 2c + b)$
$H = -a(b - 3c + d)$

خاصية التوزيع في الضرب

خاصية التوزيع هي إحدى أهم الخصائص في الجبر، وتنص على أنه يمكن توزيع الضرب على الجمع والطرح:

القاعدة الأساسية:

$$a(b + c - d) = ab + ac - ad$$

ملاحظة مهمة: يجب مراعاة قواعد الإشارات عند التوزيع.

التطبيقات:

A = 3(a + 2b - 3d) = 3a + 6b - 9d

B = 2(5a - b + 5d) = 10a - 2b + 10d

C = -2b(2a + c - 3d) = -4ab - 2bc + 6bd

D = -3a(b - 2d + 4c) = -3ab + 6ad - 12ac

E = 2c(a - 2b - d) = 2ac - 4bc - 2cd

F = -2a(-c - 3b + 4d) = 2ac + 6ab - 8ad

\begin{align} G &= 5a(3b - 2c + b) \\ &= 5a(4b - 2c) \quad \text{(جمع الحدود المتشابهة أولاً)} \\ &= 20ab - 10ac \end{align}

H = -a(b - 3c + d) = -ab + 3ac - ad

التمرين رقم 8

الضرب في $\mathbb{Z}$ - أنشر ما يلي:

$A = (3 + a)(4 + b)$
$B = (3 - a)(2 - b)$
$C = (2 - a)(-1 - b)$
$D = (-3 - 2a)(1 - b - 3c)$
$E = (2c - 5)(3 - b + a)$
$F = (2c - 5)(-a - b + 5)$

ضرب كثيرات الحدود

عند ضرب كثيرتي حدود، نطبق خاصية التوزيع بحيث نضرب كل حد في الكثيرة الأولى في كل حد في الكثيرة الثانية:

القاعدة العامة:

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

ويمكن تعميم هذا على أي عدد من الحدود.

التطبيقات خطوة بخطوة:

A:

\begin{align} A &= (3 + a)(4 + b) \\ &= 3 \times 4 + 3 \times b + a \times 4 + a \times b \\ &= 12 + 3b + 4a + ab \end{align}

B:

\begin{align} B &= (3 - a)(2 - b) \\ &= 3 \times 2 + 3 \times (-b) + (-a) \times 2 + (-a) \times (-b) \\ &= 6 - 3b - 2a + ab \end{align}

C:

\begin{align} C &= (2 - a)(-1 - b) \\ &= 2 \times (-1) + 2 \times (-b) + (-a) \times (-1) + (-a) \times (-b) \\ &= -2 - 2b + a + ab \end{align}

D:

\begin{align} D &= (-3 - 2a)(1 - b - 3c) \\ &= -3(1 - b - 3c) - 2a(1 - b - 3c) \\ &= -3 + 3b + 9c - 2a + 2ab + 6ac \\ &= -3 - 2a + 3b + 2ab + 9c + 6ac \end{align}

E:

\begin{align} E &= (2c - 5)(3 - b + a) \\ &= 2c(3 - b + a) - 5(3 - b + a) \\ &= 6c - 2bc + 2ac - 15 + 5b - 5a \\ &= -15 - 5a + 5b + 6c + 2ac - 2bc \end{align}

F:

\begin{align} F &= (2c - 5)(-a - b + 5) \\ &= 2c(-a - b + 5) - 5(-a - b + 5) \\ &= -2ac - 2bc + 10c + 5a + 5b - 25 \\ &= -25 + 5a + 5b + 10c - 2ac - 2bc \end{align}

التمرين رقم 9

أنشر ما يلي:

$M = -2a(3-5b) + 2b(-3a+2)$
$N = -3b(-1+2a) - 3a(-2+b)$
$P = (1-2a)(-2b - 3)$
$Q = 2(-3b+12c-3) + 6(4+b-4c)$

تطبيقات متقدمة للتوزيع

في هذا التمرين، نتعامل مع تعبيرات أكثر تعقيداً تتضمن عدة عمليات توزيع وجمع حدود متشابهة:

خطوات الحل:

تطبيق خاصية التوزيع على كل جزء
مراعاة قواعد الإشارات
جمع أو طرح النتائج
جمع الحدود المتشابهة إن وجدت

الحلول التفصيلية:

حساب M:

\begin{align} M &= -2a(3-5b) + 2b(-3a+2) \\ &= -2a \times 3 - 2a \times (-5b) + 2b \times (-3a) + 2b \times 2 \\ &= -6a + 10ab - 6ab + 4b \\ &= -6a + 4ab + 4b \end{align}

حساب N:

\begin{align} N &= -3b(-1+2a) - 3a(-2+b) \\ &= -3b \times (-1) + (-3b) \times 2a - 3a \times (-2) - 3a \times b \\ &= 3b - 6ab + 6a - 3ab \\ &= 6a + 3b - 9ab \end{align}

حساب P:

\begin{align} P &= (1-2a)(-2b - 3) \\ &= 1 \times (-2b) + 1 \times (-3) + (-2a) \times (-2b) + (-2a) \times (-3) \\ &= -2b - 3 + 4ab + 6a \\ &= 6a - 2b + 4ab - 3 \end{align}

حساب Q:

\begin{align} Q &= 2(-3b+12c-3) + 6(4+b-4c) \\ &= 2 \times (-3b) + 2 \times 12c + 2 \times (-3) + 6 \times 4 + 6 \times b + 6 \times (-4c) \\ &= -6b + 24c - 6 + 24 + 6b - 24c \\ &= (-6b + 6b) + (24c - 24c) + (-6 + 24) \\ &= 0 + 0 + 18 \\ &= 18 \end{align}

التمرين رقم 10

فكك ما يلي إلى جداء:

$A = 16a + 8b$
$B = 6a + 9b$
$C = 18a - 2c$
$D = 3a - 6x$
$E = 35xy - 7y$
$F = 22x - 3y$
$G = 6x - 9y$
$H = 12x - 6y$
$I = 18xy - 12x + 24y - 36$
$J = 20xy - 4x + 12y$

التحليل إلى عوامل (التفكيك)

التحليل إلى عوامل هو العملية العكسية للتوزيع. نبحث عن القاسم المشترك الأكبر بين جميع الحدود:

خطوات التحليل:

إيجاد القاسم المشترك الأكبر للمعاملات العددية
إيجاد القاسم المشترك للمتغيرات (أصغر أس لكل متغير)
إخراج العامل المشترك
التحقق من صحة النتيجة بالتوزيع

التحليلات:

A = 16a + 8b = 8(2a + b)

العامل المشترك: 8

B = 6a + 9b = 3(2a + 3b)

العامل المشترك: 3

C = 18a - 2c = 2(9a - c)

العامل المشترك: 2

D = 3a - 6x = 3(a - 2x)

العامل المشترك: 3

E = 35xy - 7y = 7y(5x - 1)

العامل المشترك: 7y

F = 22x - 3y

لا يوجد عامل مشترك غير 1 (التعبير في أبسط صورة)

G = 6x - 9y = 3(2x - 3y)

العامل المشترك: 3

H = 12x - 6y = 6(2x - y)

العامل المشترك: 6

\begin{align} I &= 18xy - 12x + 24y - 36 \\ &= 6(3xy - 2x + 4y - 6) \end{align}

العامل المشترك: 6

J = 20xy - 4x + 12y = 4(5xy - x + 3y)

العامل المشترك: 4