التمرين رقم 13
فكك ما يلي إلى جداء:
$A = 5a(2x-3) - b(3-2x)$
$B = 6b(2a+5) - 5(-2a-5)$
$C = 3x(6x-7) + 2(7-6x)$
$F = 6x(4x-11) - 4x + 11$
$D = 3x(5x+6) - b(-6-5x)$
$E = 5x(3x-4) - 3x + 4$
$G = 5x + 15 - 2x(x+3)$
$H = 6x + 9 - 7x(2x+3)$
$I = 8x(-x+3) + 18 - 6x$
مفهوم التفكيك إلى جداء
التفكيك إلى جداء هو العملية العكسية للتوزيع. نبحث عن العوامل المشتركة بين الحدود ونخرجها خارج الأقواس. في هذا التمرين، نتعامل مع تعبيرات تحتوي على عوامل مخفية يجب اكتشافها.
الاستراتيجية: ابحث عن الأنماط، خاصة عندما تظهر تعبيرات متشابهة أو متقابلة مثل $(a-b)$ و $(b-a)$ حيث $(b-a) = -(a-b)$
$$\begin{align}
A &= 5a(2x-3) - b(3-2x) \\
&= 5a(2x-3) - b[-(2x-3)] \\
&= 5a(2x-3) + b(2x-3) \\
&= (2x-3)(5a + b)
\end{align}$$
$$\begin{align}
B &= 6b(2a+5) - 5(-2a-5) \\
&= 6b(2a+5) - 5[-(2a+5)] \\
&= 6b(2a+5) + 5(2a+5) \\
&= (2a+5)(6b + 5)
\end{align}$$
$$\begin{align}
C &= 3x(6x-7) + 2(7-6x) \\
&= 3x(6x-7) + 2[-(6x-7)] \\
&= 3x(6x-7) - 2(6x-7) \\
&= (6x-7)(3x - 2)
\end{align}$$
$$\begin{align}
F &= 6x(4x-11) - 4x + 11 \\
&= 6x(4x-11) - (4x - 11) \\
&= (4x-11)(6x - 1)
\end{align}$$
$$\begin{align}
D &= 3x(5x+6) - b(-6-5x) \\
&= 3x(5x+6) - b[-(5x+6)] \\
&= 3x(5x+6) + b(5x+6) \\
&= (5x+6)(3x + b)
\end{align}$$
$$\begin{align}
E &= 5x(3x-4) - 3x + 4 \\
&= 5x(3x-4) - (3x - 4) \\
&= (3x-4)(5x - 1)
\end{align}$$
$$\begin{align}
G &= 5x + 15 - 2x(x+3) \\
&= 5(x + 3) - 2x(x+3) \\
&= (x+3)(5 - 2x)
\end{align}$$
$$\begin{align}
H &= 6x + 9 - 7x(2x+3) \\
&= 3(2x + 3) - 7x(2x+3) \\
&= (2x+3)(3 - 7x)
\end{align}$$
$$\begin{align}
I &= 8x(-x+3) + 18 - 6x \\
&= 8x(3-x) + 6(3 - x) \\
&= (3-x)(8x + 6) \\
&= 2(3-x)(4x + 3)
\end{align}$$
التمرين رقم 14
فكك ما يلي إلى جداء:
$A = (x-2y)(3x-4) - 12x + 24y$
$B = (3x-1)y - 5(6x-2)$
$C = (2x-7)(5-y) - 7(25-5y)$
$D = (2x-5) - (6x-15)(3x+12)$
$E = (2x-5)(3x+4) - (2x-5)(x+6)$
$F = (3+7x)(1-3x) - (7x+3)(2x-5)$
$G = 2(4-5x)(5-2x) - 5(4-5x)(7x+1)$
$H = 7(1-3x)(4-3x) + 2(7x-4)(1-3x)$
$I = 4(2-x)(4x+7) - (x-2)(1-3x)$
$J = 7(x-1)(2x+3) + (1-x)(6x-5)$
تفكيك التعبيرات المعقدة
في هذا التمرين، نتعامل مع تعبيرات أكثر تعقيداً تحتوي على عوامل مشتركة معقدة. الاستراتيجية هي البحث عن العوامل المشتركة بين الحدود، والتي قد تكون:
- عوامل واضحة: نفس التعبير يظهر في عدة حدود
- عوامل متقابلة: مثل $(a-b)$ و $(b-a)$ حيث $(b-a) = -(a-b)$
- عوامل مخفية: تحتاج إلى إعادة تنظيم أو نفكيك أولي
$$\begin{align}
A &= (x-2y)(3x-4) - 12x + 24y \\
&= (x-2y)(3x-4) - 12(x - 2y) \\
&= (x-2y)(3x-4-12) \\
&= (x-2y)(3x-16)
\end{align}$$
$$\begin{align}
B &= (3x-1)y - 5(6x-2) \\
&= (3x-1)y - 5 \cdot 2(3x-1) \\
&= (3x-1)y - 10(3x-1) \\
&= (3x-1)(y-10)
\end{align}$$
$$\begin{align}
C &= (2x-7)(5-y) - 7(25-5y) \\
&= (2x-7)(5-y) - 7 \cdot 5(5-y) \\
&= (2x-7)(5-y) - 35(5-y) \\
&= (5-y)(2x-7-35) \\
&= (5-y)(2x-42)
\end{align}$$
$$\begin{align}
D &= (2x-5) - (6x-15)(3x+12) \\
&= (2x-5) - 3(2x-5) \cdot 3(x+4) \\
&= (2x-5) - 9(2x-5)(x+4) \\
&= (2x-5)[1 - 9(x+4)] \\
&= (2x-5)(1-9x-36) \\
&= (2x-5)(-9x-35)
\end{align}$$
$$\begin{align}
E &= (2x-5)(3x+4) - (2x-5)(x+6) \\
&= (2x-5)[(3x+4) - (x+6)] \\
&= (2x-5)(3x+4-x-6) \\
&= (2x-5)(2x-2) \\
&= 2(2x-5)(x-1)
\end{align}$$
$$\begin{align}
F &= (3+7x)(1-3x) - (7x+3)(2x-5) \\
&= (7x+3)(1-3x) - (7x+3)(2x-5) \\
&= (7x+3)[(1-3x) - (2x-5)] \\
&= (7x+3)(1-3x-2x+5) \\
&= (7x+3)(6-5x)
\end{align}$$
$$\begin{align}
G &= 2(4-5x)(5-2x) - 5(4-5x)(7x+1) \\
&= (4-5x)[2(5-2x) - 5(7x+1)] \\
&= (4-5x)(10-4x-35x-5) \\
&= (4-5x)(5-39x)
\end{align}$$
$$\begin{align}
H &= 7(1-3x)(4-3x) + 2(7x-4)(1-3x) \\
&= 7(1-3x)(4-3x) + 2[-(4-7x)](1-3x) \\
&= 7(1-3x)(4-3x) - 2(4-7x)(1-3x) \\
&= (1-3x)[7(4-3x) - 2(4-7x)] \\
&= (1-3x)(28-21x-8+14x) \\
&= (1-3x)(20-7x)
\end{align}$$
$$\begin{align}
I &= 4(2-x)(4x+7) - (x-2)(1-3x) \\
&= 4(2-x)(4x+7) - [-(2-x)](1-3x) \\
&= 4(2-x)(4x+7) + (2-x)(1-3x) \\
&= (2-x)[4(4x+7) + (1-3x)] \\
&= (2-x)(16x+28+1-3x) \\
&= (2-x)(13x+29)
\end{align}$$
$$\begin{align}
J &= 7(x-1)(2x+3) + (1-x)(6x-5) \\
&= 7(x-1)(2x+3) + [-(x-1)](6x-5) \\
&= 7(x-1)(2x+3) - (x-1)(6x-5) \\
&= (x-1)[7(2x+3) - (6x-5)] \\
&= (x-1)(14x+21-6x+5) \\
&= (x-1)(8x+26) \\
&= 2(x-1)(4x+13)
\end{align}$$