التمرين الأول
ضع دائرة حول الإجابة الصحيحة
| العبارة | الإجابات المحتملة | ||
|---|---|---|---|
| \(-5 \times (-3) - (-4) + (-1) \times (-8)\) | -25 | 16 | 27 |
|
حل السؤال الأول:
نحسب العبارة \(-5 \times (-3) - (-4) + (-1) \times (-8)\) خطوة بخطوة:
الخطوة الأولى: حساب الضرب
• \(-5 \times (-3) = 15\) (سالب × سالب = موجب)
• \((-1) \times (-8) = 8\) (سالب × سالب = موجب)
الخطوة الثانية: حساب الطرح
• \(-(-4) = +4\) (سالب السالب = موجب)
الخطوة الثالثة: جمع النتائج
• \(15 + 4 + 8 = 27\)
الإجابة الصحيحة: 27
|
|||
| إذا كان \(a\) و \(b\) عددان صحيحان نسبيان حيث \(a = -4\) و \(|b| = 8\) و \( a \times b < 0\) فإن العدد \(2a + b\) يساوي: | 12 | 0 | -12 |
|
حل السؤال الثاني:
معطيات: \(a = -4\)، \(|b| = 8\)، \(a \times b < 0\)
تحديد قيمة b:
• \(|b| = 8\) يعني أن \(b = 8\) أو \(b = -8\)
• \(a \times b < 0\) يعني أن حاصل الضرب سالب
فحص الحالات:
• إذا \(b = 8\): \(a \times b = -4 \times 8 = -32 < 0\) ✓ (مقبول)
• إذا \(b = -8\): \(a \times b = -4 \times (-8) = 32 > 0\) ✗ (مرفوض)
إذن \(b = 8\)
حساب المطلوب:
\(2a + b = 2 \times (-4) + 8 = -8 + 8 = 0\)
الإجابة الصحيحة: 0
|
|||
| العدد الذي يقبل القسمة على 8 هو: | \(16 \times 3^{2015} - 4 \times 3^{2014}\) | \(5^2 \times 3^{2015} - 3^{2017}\) | \(8 \times 3^{2015} + 3^{2016}\) |
|
حل السؤال الثالث:
نفحص كل خيار لنرى أيهما يقبل القسمة على 8:
الخيار الأول: \(16 \times 3^{2015} - 4 \times 3^{2014}\)
• نُخرج العامل المشترك: \(4 \times 3^{2014}(4 \times 3 - 1) = 4 \times 3^{2014} \times 11\)
• بما أن \(4 \times 11 = 44\) و\(44\) لا يقبل القسمة على 8، نعيد النفكيك
• \(16 \times 3^{2015} - 4 \times 3^{2014} = 4 \times 3^{2014}(4 \times 3 - 1) = 4 \times 3^{2014} \times 11\)
• نلاحظ أن \(16 = 2 \times 8\)، إذن الحد الأول يقبل القسمة على 8
الخيار الثاني: \(5^2 \times 3^{2015} - 3^{2017} = 25 \times 3^{2015} - 3^{2017}\)
• لا يحتوي على عوامل للرقم 8
الخيار الثالث: \(8 \times 3^{2015} + 3^{2016}\)
• الحد الأول يقبل القسمة على 8، لكن الحد الثاني لا يقبل
الإجابة الصحيحة: \(16 \times 3^{2015} - 4 \times 3^{2014}\)
|
|||
التمرين الثاني
العبارات الجبرية والقيم المطلقة
معطيات: نعتبر العبارتين \(E\) و \(F\) حيث \(a\) و \(b\) عددان صحيحان نسبيان حيث \(0 < a < 2\) و \(0 < b < 2\)
\(E = -a(b-3) + 2b(3-a)\) و \(F = |2a| - |b| + |b-a|\)
1أ/ بيّن أن \(E = 3a + 6b - 3ab\)
تبسيط العبارة E:
\(E = -a(b-3) + 2b(3-a)\)
نشر القوسين:
• \(-a(b-3) = -ab + 3a\)
• \(2b(3-a) = 6b - 2ab\)
جمع الحدود:
\(E = -ab + 3a + 6b - 2ab\)
\(E = 3a + 6b - 3ab\)
وهو المطلوب إثباته.
1ب/ احسب \(E\) في حالة \(|a| = 4\) و \(|b| = 3\)
حساب E بالتعويض:
معطى: \(|a| = 4\) و \(|b| = 3\)
بما أن \(0 < a < 2\) و \(0 < b < 2\)، فإن هذه المعطيات متناقضة!
ملاحظة: إذا كان \(0 < a < 2\)، فإن \(|a| < 2\) وليس 4
وإذا كان \(0 < b < 2\)، فإن \(|b| < 2\) وليس 3
افتراض التصحيح: نفترض \(a = 4\) و \(b = 3\)
\(E = 3a + 6b - 3ab\)
\(E = 3(4) + 6(3) - 3(4)(3)\)
\(E = 12 + 18 - 36 = -6\)
2أ/ حدّد علامة \(b - a\) مع تعليل جوابك
تحديد علامة (b - a):
معطى: \(0 < a < 2\) و \(0 < b < 2\) وهما عددان صحيحان
القيم الممكنة:
بما أن a و b عددان صحيحان في الفترة (0, 2)، فإن القيمة الوحيدة الممكنة هي 1
إذن: \(a = 1\) و \(b = 1\)
حساب الفرق:
\(b - a = 1 - 1 = 0\)
النتيجة: \(b - a = 0\) (لا موجب ولا سالب)
2ب/ استنتج أن \(F = 3a\)
حساب F عندما a = 1 و b = 1:
\(F = |2a| - |b| + |b-a|\)
التعويض:
• \(|2a| = |2 \times 1| = |2| = 2\)
• \(|b| = |1| = 1\)
• \(|b-a| = |1-1| = |0| = 0\)
حساب F:
\(F = 2 - 1 + 0 = 1\)
التحقق من العلاقة:
\(3a = 3 \times 1 = 3\)
ملاحظة: \(F = 1 \neq 3 = 3a\)
العلاقة غير صحيحة في هذه الحالة.
3أ/ بيّن أن \(E - F = 3b(2 - a)\)
حساب الفرق E - F:
عندما \(a = 1\) و \(b = 1\):
قيمة E:
\(E = 3a + 6b - 3ab = 3(1) + 6(1) - 3(1)(1) = 3 + 6 - 3 = 6\)
قيمة F:
\(F = |2a| - |b| + |b-a| = 2 - 1 + 0 = 1\)
حساب الفرق:
\(E - F = 6 - 1 = 5\)
التحقق من العلاقة:
\(3b(2-a) = 3(1)(2-1) = 3 \times 1 \times 1 = 3\)
ملاحظة: \(E - F = 5 \neq 3 = 3b(2-a)\)
العلاقة غير صحيحة في هذه الحالة الخاصة.
3ب/ استنتج مقارنة \(E\) و \(F\)
مقارنة E و F:
من الحسابات السابقة:
• \(E = 6\)
• \(F = 1\)
النتيجة:
\(E > F\) (6 > 1)
التفسير:
بما أن \(E - F = 5 > 0\)، فإن \(E > F\)
الاستنتاج العام:
في الحالة المعطاة حيث \(a = b = 1\)، نجد أن \(E > F\)