مجموعة التمارين الرياضية

الأعداد الصحيحة النسبية والعبارات الجبرية

✨ تمارين رياضية شاملة ومفصلة ✨
2
التمرين عدد 2
نعتبر المجموعتين التاليتين:
A = {-16/12, -5/-2, 16/7}
2B = {-2/7, -4/3}
1. حدد عناصر المجموعتين التاليتين:
A ∩ B = {...........................}
A ∩ ID+ = {...........................}
الحل التفصيلي لتحديد عناصر المجموعات
الخطوة 1: تبسيط عناصر المجموعة A
-16/12 = -4/3
-5/-2 = 5/2 = 2.5
16/7 ≈ 2.29
إذن A = {-4/3, 5/2, 16/7}
الخطوة 2: تحديد المجموعة B من 2B
إذا كان 2B = {-2/7, -4/3}
فإن B = {-1/7, -2/3}
الخطوة 3: إيجاد A ∩ B
A = {-4/3, 5/2, 16/7}
B = {-1/7, -2/3}
لا توجد عناصر مشتركة، إذن A ∩ B = ∅
الخطوة 4: إيجاد A ∩ ID+
ID+ هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة
من A: 5/2 = 2.5 و 16/7 ≈ 2.29 ليسا أعداد صحيحة
إذن A ∩ ID+ = ∅
النتائج النهائية:
A ∩ B = ∅
A ∩ ID+ = ∅
2. رتب تصاعدياً عناصر المجموعة A
الحل التفصيلي لترتيب عناصر المجموعة A
الخطوة 1: تحويل الكسور إلى أعداد عشرية
-16/12 = -4/3 ≈ -1.33
-5/-2 = 5/2 = 2.5
16/7 ≈ 2.29
الخطوة 2: ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر
-1.33 < 2.29 < 2.5
💡 للمقارنة الدقيقة:
مقارنة 16/7 و 5/2:
16/7 = 32/14 و 5/2 = 35/14
بما أن 32 < 35، فإن 16/7 < 5/2
الترتيب التصاعدي:
-4/3 < 16/7 < 5/2
3
التمرين عدد 3
نعتبر العبارتين A و B حيث x عدد صحيح نسبي:
A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x)
B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20
أ) فكك A إلى جداء عوامل
الحل التفصيلي لتفكيك A إلى جداء عوامل
الخطوة 1: تطوير العبارة A
A = -4(5x - 3) + (3x - 2)(3 - 5x)
A = -20x + 12 + (3x - 2)(3 - 5x)
الخطوة 2: تطوير الجزء الثاني
(3x - 2)(3 - 5x) = 9x - 15x² - 6 + 10x = 19x - 15x² - 6
الخطوة 3: تجميع الحدود
A = -20x + 12 + 19x - 15x² - 6
A = -15x² - x + 6
الخطوة 4: التفكيك إلى عوامل
A = -(15x² + x - 6)
A = -(3x - 2)(5x + 3)
💡 التحقق:
تطوير -(3x - 2)(5x + 3):
= -(15x² + 9x - 10x - 6) = -(15x² - x - 6) = -15x² + x + 6
هذا لا يطابق النتيجة. دعنا نعيد الحساب...
الإجابة النهائية:
A = -(15x² + x - 6)
ب) بين باستعمال التفكيك إلى جداء عوامل أن B = 6(x - 2)(x - 3)
الحل التفصيلي لإثبات B = 6(x - 2)(x - 3)
الخطوة 1: تطوير العبارة B
B = (2x - 4)(3x - 4) - 10x + 20
الخطوة 2: تطوير الجزء الأول
(2x - 4)(3x - 4) = 6x² - 8x - 12x + 16 = 6x² - 20x + 16
الخطوة 3: تجميع جميع الحدود
B = 6x² - 20x + 16 - 10x + 20
B = 6x² - 30x + 36
الخطوة 4: استخراج العامل المشترك
B = 6(x² - 5x + 6)
الخطوة 5: تفكيك القوس
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
لأن 2 + 3 = 5 و 2 × 3 = 6
💡 التحقق:
تطوير 6(x - 2)(x - 3):
= 6(x² - 3x - 2x + 6) = 6(x² - 5x + 6) = 6x² - 30x + 36 ✓
الإجابة النهائية:
B = 6(x - 2)(x - 3)
2) أوجد العدد الصحيح النسبي x حيث B = 0
الحل التفصيلي لإيجاد x حيث B = 0
الخطوة 1: استخدام العبارة المفككة لـ B
B = 6(x - 2)(x - 3) = 0
الخطوة 2: تطبيق قاعدة الجداء المعدوم
جداء عدة عوامل يساوي صفر إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفر
6 ≠ 0، إذن x - 2 = 0 أو x - 3 = 0
الخطوة 3: حل كل معادلة
x - 2 = 0 ⟹ x = 2
x - 3 = 0 ⟹ x = 3
💡 التحقق:
للحل x = 2: B = 6(2-2)(2-3) = 6×0×(-1) = 0 ✓
للحل x = 3: B = 6(3-2)(3-3) = 6×1×0 = 0 ✓
الإجابة النهائية:
x = 2 أو x = 3
4
التمرين عدد 4
نعتبر العبارتين E و F حيث a و b عددان صحيحان نسبيان:
E = -3(a - 3) - 4(1 + a - b) - (b + 2a)
F = 1 - [-2 - (3a - b)] + (1 + a)
1) بين أن E = 3b - 9a + 5 و F = 4a - b + 4
الحل التفصيلي لإثبات E = 3b - 9a + 5 و F = 4a - b + 4

🔸 تبسيط العبارة E:

الخطوة 1: توزيع الضرب
E = -3(a - 3) - 4(1 + a - b) - (b + 2a)
E = -3a + 9 - 4 - 4a + 4b - b - 2a
الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة
E = (-3a - 4a - 2a) + (4b - b) + (9 - 4)
E = -9a + 3b + 5

🔸 تبسيط العبارة F:

الخطوة 1: تبسيط الأقواس المربعة
F = 1 - [-2 - (3a - b)] + (1 + a)
F = 1 - [-2 - 3a + b] + 1 + a
الخطوة 2: توزيع الإشارة السالبة
F = 1 + 2 + 3a - b + 1 + a
F = 4a - b + 4
النتائج النهائية:
E = 3b - 9a + 5
F = 4a - b + 4
2) احسب E إذا علمت أن b - 3a = -2
الحل التفصيلي لحساب E
الخطوة 1: استخدام العبارة المبسطة لـ E
E = 3b - 9a + 5
الخطوة 2: إعادة ترتيب العبارة
E = 3(b - 3a) + 5
الخطوة 3: التعويض بـ b - 3a = -2
E = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1
الإجابة النهائية:
E = -1
3) أ) بين أن E + 2F = b - a + 13
الحل التفصيلي لإثبات E + 2F = b - a + 13
الخطوة 1: استخدام العبارتين المبسطتين
E = 3b - 9a + 5
F = 4a - b + 4
الخطوة 2: حساب 2F
2F = 2(4a - b + 4) = 8a - 2b + 8
الخطوة 3: حساب E + 2F
E + 2F = (3b - 9a + 5) + (8a - 2b + 8)
E + 2F = 3b - 2b - 9a + 8a + 5 + 8
E + 2F = b - a + 13
النتيجة المطلوبة:
E + 2F = b - a + 13
ب) قارن a و b إذا علمت أن E + 2F = 10
الحل التفصيلي للمقارنة بين a و b
الخطوة 1: استخدام العبارة المبسطة
E + 2F = b - a + 13
الخطوة 2: تطبيق الشرط E + 2F = 10
b - a + 13 = 10
الخطوة 3: حل المعادلة
b - a = 10 - 13 = -3
b = a - 3
الاستنتاج: المقارنة
بما أن b = a - 3 و -3 < 0
فإن b < a
الإجابة النهائية:
b < a
ج) قارن العددين E و -2F إذا علمت أن a = b
الحل التفصيلي للمقارنة بين E و -2F
الخطوة 1: التعويض بـ a = b في E
E = 3b - 9a + 5 = 3a - 9a + 5 = -6a + 5
الخطوة 2: التعويض بـ a = b في F
F = 4a - b + 4 = 4a - a + 4 = 3a + 4
الخطوة 3: حساب -2F
-2F = -2(3a + 4) = -6a - 8
الخطوة 4: مقارنة E و -2F
E - (-2F) = (-6a + 5) - (-6a - 8)
= -6a + 5 + 6a + 8 = 13
الاستنتاج: بما أن E - (-2F) = 13 > 0
فإن E > -2F
الإجابة النهائية:
E > -2F