تمرير رياضيات - السنة الثامنة

1

اختصار عبارات عددية

اختصر كلاً من العبارتين التاليتين حيث \(x\) و \(y\) عددان صحيحان نسبيان:

\[A = 2 - [(x + 8) - 1]\] \[B = 5 + [-(y - 2) - 4]\]

2) قارن \(A\) و \(B\) في حالة \(x - y = -13\)

3) احسب \(A + B\) في حالة \(x\) و \(y\) متقابلان

التصحيح المفصّل

السؤال الأول: اختصر العبارتين \(A\) و \(B\)

🔹 اختصار العبارة \(A\):

\[A = 2 - [(x + 8) - 1]\]

الخطوة 1: نبسط داخل الأقواس

\[A = 2 - [x + 8 - 1]\] \[A = 2 - [x + 7]\]

الخطوة 2: نحذف الأقواس (مع تغيير الإشارات)

\[A = 2 - x - 7\]

الخطوة 3: نجمع الحدود المتشابهة

\[A = -x + 2 - 7\] \[A = -x - 5\]

النتيجة: \(A = -x - 5\)

🔹 اختصار العبارة \(B\):

\[B = 5 + [-(y - 2) - 4]\]

الخطوة 1: نبسط داخل الأقواس

\[B = 5 + [-y + 2 - 4]\] \[B = 5 + [-y - 2]\]

الخطوة 2: نحذف الأقواس

\[B = 5 - y - 2\]

الخطوة 3: نجمع الحدود المتشابهة

\[B = -y + 5 - 2\] \[B = -y + 3\]

النتيجة: \(B = -y + 3\)

السؤال الثاني: قارن \(A\) و \(B\) في حالة \(x - y = -13\)

لدينا:

\[A = -x - 5\] \[B = -y + 3\] \[x - y = -13\]

نحسب الفرق \(A - B\):

\[A - B = (-x - 5) - (-y + 3)\] \[A - B = -x - 5 + y - 3\] \[A - B = -x + y - 8\] \[A - B = -(x - y) - 8\]

التعويض بـ \(x - y = -13\):

\[A - B = -(-13) - 8\] \[A - B = 13 - 8\] \[A - B = 5\]

بما أن \(A - B = 5 > 0\)

النتيجة: \(A > B\)

يمكننا أيضاً حساب قيمتي \(A\) و \(B\) مباشرة:
من \(x - y = -13\) نستنتج \(x = y - 13\)
\(A = -x - 5 = -(y - 13) - 5 = -y + 13 - 5 = -y + 8\)
\(B = -y + 3\)
إذن: \(A - B = (-y + 8) - (-y + 3) = 5\)

السؤال الثالث: احسب \(A + B\) في حالة \(x\) و \(y\) متقابلان

معطى: \(x\) و \(y\) متقابلان، أي: \(x + y = 0\) أو \(y = -x\)

لدينا:

\[A = -x - 5\] \[B = -y + 3\]

نحسب \(A + B\):

\[A + B = (-x - 5) + (-y + 3)\] \[A + B = -x - y - 5 + 3\] \[A + B = -(x + y) - 2\]

بما أن \(x + y = 0\):

\[A + B = -(0) - 2\] \[A + B = -2\]

النتيجة: \(A + B = -2\)

2

تبسيط ومقارنة العبارات

نعتبر العبارتين التاليتين \(A\) و \(B\) حيث \(x\) و \(y\) عددان صحيحان نسبيان:

\[A = -x - (5 - x) + (x - 3)\] \[B = -(2 - x + y) - (4 - y)\]

1) نبيّن أنّ \(A = x - 6\) و \(B = y + 2\)

2) علماً أنّ \(x - y = 5\)

أ- احسب الفرق \(A - B\)

ب- استنتج مقارنة العددين \(A\) و \(B\)

التصحيح المفصّل

1) إثبات أن \(A = x - 6\) و \(B = y + 2\)

🔹 تبسيط العبارة \(A\):

\[A = -x - (5 - x) + (x - 3)\]

الخطوة 1: نحذف الأقواس

\[A = -x - 5 + x + x - 3\]

الخطوة 2: نجمع الحدود المتشابهة

• حدود \(x\): \(-x + x + x = x\)

• الحدود الثابتة: \(-5 - 3 = -8\)

هناك خطأ في التمرين! النتيجة الصحيحة هي: \(A = x - 8\) وليس \(A = x - 6\)

🔹 تبسيط العبارة \(B\):

\[B = -(2 - x + y) - (4 - y)\]

الخطوة 1: نحذف الأقواس

\[B = -2 + x - y - 4 + y\]

الخطوة 2: نجمع الحدود المتشابهة

• حدود \(x\): \(x\)

• حدود \(y\): \(-y + y = 0\)

• الحدود الثابتة: \(-2 - 4 = -6\)

\[B = x - 6\]

هناك خطأ في التمرين! النتيجة الصحيحة هي: \(B = x - 6\) وليس \(B = y + 2\)

سنتابع الحل مع النتائج الصحيحة:
\(A = x - 8\)
\(B = x - 6\)

2) أ- حساب الفرق \(A - B\) علماً أنّ \(x - y = 5\)

بالنتائج الصحيحة:

\[A = x - 8\] \[B = x - 6\]

نحسب الفرق:

\[A - B = (x - 8) - (x - 6)\] \[A - B = x - 8 - x + 6\] \[A - B = -2\]

النتيجة: \(A - B = -2\)

لاحظ أن النتيجة لا تعتمد على قيمة \(x - y = 5\)، لأن العبارتين \(A\) و \(B\) تحتويان على نفس المتغير \(x\) فقط.

2) ب- مقارنة العددين \(A\) و \(B\)

لدينا: \(A - B = -2\)

بما أن \(A - B = -2 < 0\)

النتيجة: \(A < B\)

بمعنى آخر: \(x - 8 < x - 6\) وهذا صحيح لأي قيمة لـ \(x\)

3

المقارنة والترتيب

1) ليكن \(x\) عدداً صحيحاً نسبياً. نعتبر العددين \(A\) و \(B\) حيث:

\[A = 11 - (x + 5)\] \[B = 8 - x\]

قارن \(A\) و \(B\)

2) رتب تصاعدياً الأعداد الصحيحة النسبية التالية: \(a\) و \(b\) و \(c\) علماً أنّ:

\(|a| < |b|\) و \(|a| < |c|\)

التصحيح المفصّل

1) مقارنة \(A\) و \(B\)

لدينا:

\[A = 11 - (x + 5)\] \[B = 8 - x\]

الخطوة 1: تبسيط \(A\)

\[A = 11 - x - 5\] \[A = 6 - x\]

الخطوة 2: حساب \(A - B\)

\[A - B = (6 - x) - (8 - x)\] \[A - B = 6 - x - 8 + x\] \[A - B = -2\]

بما أن \(A - B = -2 < 0\)

النتيجة: \(A < B\)

يمكن أيضاً الملاحظة المباشرة:
\(A = 6 - x\) و \(B = 8 - x\)
بما أن \(6 < 8\)، فإن \(6 - x < 8 - x\) لأي قيمة لـ \(x\)

2) ترتيب الأعداد \(a\) و \(b\) و \(c\) تصاعدياً

المعطيات:

• \(|a| < |b|\): القيمة المطلقة لـ \(a\) أصغر من القيمة المطلقة لـ \(b\)

• \(|a| < |c|\): القيمة المطلقة لـ \(a\) أصغر من القيمة المطلقة لـ \(c\)

تنبيه: المعطيات غير كافية للترتيب التصاعدي!
معرفة القيم المطلقة فقط لا تكفي لمعرفة الترتيب الفعلي للأعداد.

أمثلة توضيحية:

المثال 1:

إذا كان \(a = 1\)، \(b = 5\)، \(c = -3\)

• \(|a| = 1\)، \(|b| = 5\)، \(|c| = 3\)

• نتحقق: \(|a| < |b|\) ✓ و \(|a| < |c|\) ✓

• الترتيب التصاعدي: \(c < a < b\) أي \(-3 < 1 < 5\)

المثال 2:

إذا كان \(a = 1\)، \(b = -5\)، \(c = 3\)

• \(|a| = 1\)، \(|b| = 5\)، \(|c| = 3\)

• نتحقق: \(|a| < |b|\) ✓ و \(|a| < |c|\) ✓

• الترتيب التصاعدي: \(b < a < c\) أي \(-5 < 1 < 3\)

المثال 3:

إذا كان \(a = -1\)، \(b = 5\)، \(c = 3\)

• \(|a| = 1\)، \(|b| = 5\)، \(|c| = 3\)

• نتحقق: \(|a| < |b|\) ✓ و \(|a| < |c|\) ✓

• الترتيب التصاعدي: \(a < c < b\) أي \(-1 < 3 < 5\)

الاستنتاج:
لا يمكن ترتيب الأعداد \(a\) و \(b\) و \(c\) بشكل محدد اعتماداً فقط على القيم المطلقة.
نحتاج إلى معلومات إضافية عن إشارات الأعداد أو قيمها الفعلية.

4

تبسيط ومقارنة عبارات جبرية

نعتبر العبارة التالية: \(A = (7 - a) + [4 - (-a + 10)] + (a - 5)\) حيث \(a\) عدد صحيح نسبي

1) نبيّن أنّ \(A = a - 4\)

2) لتكن العبارة \(B = a + 6\)

أ- احسب الفرق \(A - B\)

ب- استنتج مقارنة بين العددين \(A\) و \(B\)

التصحيح المفصّل

1) إثبات أن \(A = a - 4\)

لدينا:

\[A = (7 - a) + [4 - (-a + 10)] + (a - 5)\]

الخطوة 1: تبسيط داخل الأقواس المربعة

\[4 - (-a + 10) = 4 + a - 10 = a - 6\]

الخطوة 2: التعويض

\[A = (7 - a) + (a - 6) + (a - 5)\]

الخطوة 3: حذف الأقواس

\[A = 7 - a + a - 6 + a - 5\]

الخطوة 4: جمع الحدود المتشابهة

• حدود \(a\): \(-a + a + a = a\)

• الحدود الثابتة: \(7 - 6 - 5 = -4\)

\[A = a - 4\]

تم إثبات أن: \(A = a - 4\) ✓

2) أ- حساب الفرق \(A - B\)

لدينا:

\[A = a - 4\] \[B = a + 6\]

نحسب الفرق:

\[A - B = (a - 4) - (a + 6)\] \[A - B = a - 4 - a - 6\] \[A - B = -10\]

النتيجة: \(A - B = -10\)

2) ب- مقارنة بين العددين \(A\) و \(B\)

لدينا: \(A - B = -10\)

بما أن \(A - B = -10 < 0\)

النتيجة: \(A < B\)

بمعنى آخر: \(a - 4 < a + 6\) لأي قيمة لـ \(a\)
وهذا منطقي لأن \(-4 < 6\)

5

ترتيب ومقارنة الأعداد

1) رتب تصاعدياً الأعداد التالية:

\[-3 \,;\, 21 \,;\, 5 \,;\, -2 \,;\, -11 \,;\, 0\]

2) ليكن \(a\) و \(b\) عددين كسريين نسبيين

أ- قارن العددين \(X = (17 + a) - b\) و \(Y = (-5 + a) - b\)

ب- علماً أنّ \(b < a\) قارن \(a + b\) و \(3 - b\)

التصحيح المفصّل

1) ترتيب الأعداد تصاعدياً

الأعداد المعطاة: \(-3\)، \(21\)، \(5\)، \(-2\)، \(-11\)، \(0\)

النفكيك:

• الأعداد السالبة: \(-11\)، \(-3\)، \(-2\)

• الصفر: \(0\)

• الأعداد الموجبة: \(5\)، \(21\)

ترتيب الأعداد السالبة:

كلما كانت القيمة المطلقة للعدد السالب أكبر، كان العدد أصغر

\(|-11| = 11 > |-3| = 3 > |-2| = 2\)

إذن: \(-11 < -3 < -2\)

ترتيب الأعداد الموجبة:

\(5 < 21\)

الترتيب التصاعدي:
\[-11 < -3 < -2 < 0 < 5 < 21\]

قاعدة: كل عدد سالب أصغر من الصفر، والصفر أصغر من كل عدد موجب

2) أ- مقارنة \(X\) و \(Y\)

لدينا:

\[X = (17 + a) - b\] \[Y = (-5 + a) - b\]

الطريقة 1: حساب الفرق \(X - Y\)

\[X - Y = [(17 + a) - b] - [(-5 + a) - b]\] \[X - Y = 17 + a - b + 5 - a + b\] \[X - Y = 17 + 5\] \[X - Y = 22\]

بما أن \(X - Y = 22 > 0\)

النتيجة: \(X > Y\)

الطريقة 2: التبسيط المباشر

\[X = 17 + a - b\] \[Y = -5 + a - b\]

بما أن \(17 > -5\)، فإن:

\[17 + a - b > -5 + a - b\]

الملاحظة: العددان \(X\) و \(Y\) يختلفان فقط في الحد الثابت (\(17\) مقابل \(-5\))

2) ب- مقارنة \(a + b\) و \(3 - b\) علماً أنّ \(b < a\)

معطى: \(b < a\)

مطلوب: مقارنة \(a + b\) و \(3 - b\)

نحسب الفرق:

\[(a + b) - (3 - b)\] \[= a + b - 3 + b\] \[= a + 2b - 3\]

النفكيك:

من المعطى \(b < a\)، لكن لا نعرف العلاقة بين \(a + 2b\) و \(3\)

لا يمكن تحديد المقارنة بدقة!
المعطيات غير كافية للوصول إلى نتيجة محددة.

أمثلة توضيحية:

المثال 1: إذا كان \(a = 2\) و \(b = 1\)

• نتحقق: \(b < a\) ✓ (لأن \(1 < 2\))

• \(a + b = 2 + 1 = 3\)

• \(3 - b = 3 - 1 = 2\)

• النتيجة: \(a + b > 3 - b\) (لأن \(3 > 2\))

المثال 2: إذا كان \(a = 1\) و \(b = -2\)

• نتحقق: \(b < a\) ✓ (لأن \(-2 < 1\))

• \(a + b = 1 + (-2) = -1\)

• \(3 - b = 3 - (-2) = 5\)

• النتيجة: \(a + b < 3 - b\) (لأن \(-1 < 5\))

الخلاصة:
معرفة أن \(b < a\) فقط لا تكفي لتحديد العلاقة بين \(a + b\) و \(3 - b\).
نحتاج إلى معلومات إضافية عن قيم \(a\) و \(b\).