عبارات حرفية – معادلات (مع الحل المفصل)

1) حل المعادلة $$4x - 1 = -3$$

الهدف هو عزل المتغير $x$ في طرف واحد. لفعل ذلك، نتبع الخطوات التالية:

• الخطوة 1: التخلص من العدد (-1) بجانب $x$. نضيف (+1) إلى كلا طرفي المعادلة للحفاظ على التوازن.
$$4x - 1 + 1 = -3 + 1$$ $$4x = -2$$
• الخطوة 2: الآن $x$ مضروب في 4. للتخلص من الـ 4، نقسم كلا الطرفين على 4.
$$\frac{4x}{4} = \frac{-2}{4}$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

الحل هو: $$x = -0.5$$

2) حل المعادلة $$1 - 2x = -3$$

• الخطوة 1: ننقل العدد 1 إلى الطرف الآخر. بما أنه موجب، يصبح سالبًا.
$$-2x = -3 - 1$$ $$-2x = -4$$
• الخطوة 2: نقسم كلا الطرفين على (-2) لعزل $x$.
$$\frac{-2x}{-2} = \frac{-4}{-2}$$ $$x = 2$$

الحل هو: $$x = 2$$

3) حل المعادلة $$5 - 4x = 1$$

• الخطوة 1: ننقل العدد 5 إلى الطرف الآخر.
$$-4x = 1 - 5$$ $$-4x = -4$$
• الخطوة 2: نقسم كلا الطرفين على (-4).
$$\frac{-4x}{-4} = \frac{-4}{-4}$$ $$x = 1$$

الحل هو: $$x = 1$$

4) حل المعادلة $$3x + 5 = -9$$

• الخطوة 1: ننقل العدد 5 إلى الطرف الآخر.
$$3x = -9 - 5$$ $$3x = -14$$
• الخطوة 2: نقسم كلا الطرفين على 3.
$$\frac{3x}{3} = \frac{-14}{3}$$ $$x = -\frac{14}{3}$$

الحل هو: $$x = -\frac{14}{3}$$

5) حل المعادلة $$ \frac{2}{3}x = \frac{1}{2} $$

لعزل $x$، نضرب كلا الطرفين في مقلوب الكسر $\frac{2}{3}$، وهو $\frac{3}{2}$.

$$\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}x = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}$$ $$x = \frac{1 \times 3}{2 \times 2}$$ $$x = \frac{3}{4}$$

الحل هو: $$x = 0.75$$

1) حل المعادلة $$(3x-4)(2x+1) = 0$$

بتطبيق خاصية الجداء الصفري، لدينا حالتان:

• الحالة الأولى: القوس الأول يساوي صفر.
$$3x - 4 = 0$$ $$3x = 4$$ $$x = \frac{4}{3}$$
• الحالة الثانية: القوس الثاني يساوي صفر.
$$2x + 1 = 0$$ $$2x = -1$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

إذن، للمعادلة حلان هما: $$S = \left\{ \frac{4}{3}, -\frac{1}{2} \right\}$$

2) حل المعادلة $$(2x+3)(x-5) - (3x-1)(x-5) = 0$$

الخطوة 1: التفكيك (العامل المشترك)

نلاحظ أن القوس $(x-5)$ موجود في كلا الحدين. إذن هو عامل مشترك. نضعه خارج قوسين كبيرين:

$$(x-5) \left[ (2x+3) - (3x-1) \right] = 0$$

الخطوة 2: تبسيط ما بداخل القوسين الكبيرين

انتبه لعلامة الطرح (-) قبل القوس الثاني، فهي تغير إشارات ما بداخله.

$$(x-5) [2x + 3 - 3x + 1] = 0$$ $$(x-5) (-x + 4) = 0$$

الخطوة 3: تطبيق خاصية الجداء الصفري

لدينا الآن جداء يساوي صفر، فنطبق نفس المبدأ:

• الحالة الأولى:
$$x - 5 = 0 \implies x = 5$$
• الحالة الثانية:
$$-x + 4 = 0 \implies 4 = x$$

إذن، للمعادلة حلان هما: $$S = \{5, 4\}$$

1) حل المعادلة A = 0

لدينا $$A = (2x-3)(x+1) = 0$$. هذه معادلة جداء صفري.

• إما $$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$$
• أو $$x + 1 = 0 \implies x = -1$$

مجموعة الحلول هي: $$S = \left\{ \frac{3}{2}, -1 \right\}$$

2) أ. تفكيك B إلى جذاء عوامل

لدينا $$B = 4x^2 - 6x$$. نبحث عن أكبر عامل مشترك بين الحدين.

• العدد 4 هو $2 \times 2$. العدد 6 هو $2 \times 3$. العامل المشترك بينهما هو 2.
• $x^2$ هي $x \times x$. الحد الثاني فيه $x$. العامل المشترك هو $x$.

إذن العامل المشترك الأكبر هو $2x$. نضعه خارج قوس:

$$B = 2x(2x) - 2x(3)$$ $$B = 2x(2x-3)$$

2) ب. استنتاج أن A+B = (2x-3)(3x+1)

نجمع العبارتين A و B (بعد تفكيك B):

$$A+B = (2x-3)(x+1) + 2x(2x-3)$$

نلاحظ أن القوس $(2x-3)$ هو عامل مشترك جديد.

$$A+B = (2x-3) [ (x+1) + 2x ]$$

نبسط ما بداخل القوس الكبير:

$$A+B = (2x-3) [x + 1 + 2x]$$ $$A+B = (2x-3)(3x+1)$$

وهو المطلوب.

3) استنتاج مجموعة حلول المعادلة $$4x^2-6x+(2x-3)(x+1) = 0$$

نلاحظ أن الطرف الأيسر من هذه المعادلة هو بالضبط العبارة $A+B$.

إذن المعادلة تكافئ $$A+B = 0$$.

ومن السؤال السابق، وجدنا أن $$A+B = (2x-3)(3x+1)$$.

إذن نحل المعادلة: $$(2x-3)(3x+1) = 0$$

وهي معادلة جداء صفري:

• إما $$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$$
• أو $$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$$

مجموعة الحلول هي: $$S = \left\{ \frac{3}{2}, -\frac{1}{3} \right\}$$

الخطوة 1: تحديد المتغيرات والمعطيات

• رأس مال التاجر الأول الآن: 30,000 د.
• رأس مال التاجر الثاني الآن: 100,000 د.
• الزيادة السنوية لكل منهما: 5,000 د.
• المجهول: عدد السنوات حتى يتحقق الشرط. لنسمي عدد السنوات $x$.

الخطوة 2: كتابة العبارات الجبرية لرأس المال بعد $x$ سنوات

• رأس مال التاجر الأول بعد $x$ سنوات سيكون: $30000 + 5000x$
• رأس مال التاجر الثاني بعد $x$ سنوات سيكون: $100000 + 5000x$

الخطوة 3: كتابة المعادلة حسب الشرط المطلوب

الشرط هو: "رأس مال الثاني يصبح ضعف رأس مال الأول".

رأس مال الثاني = 2 × (رأس مال الأول)

$$100000 + 5000x = 2 \times (30000 + 5000x)$$

الخطوة 4: حل المعادلة

أولاً، نوزع الـ 2 على القوس في الطرف الأيمن:

$$100000 + 5000x = 2 \times 30000 + 2 \times 5000x$$ $$100000 + 5000x = 60000 + 10000x$$

الآن، نجمع الحدود التي تحتوي على $x$ في طرف والأعداد في الطرف الآخر. ننقل $5000x$ إلى اليمين (تصبح سالبة) و $60000$ إلى اليسار (تصبح سالبة).

$$100000 - 60000 = 10000x - 5000x$$ $$40000 = 5000x$$

أخيراً، نعزل $x$ بالقسمة على 5000.

$$x = \frac{40000}{5000}$$ $$x = \frac{40}{5}$$ $$x = 8$$

الخطوة 5: الإجابة على السؤال

سيصبح رأس مال التاجر الثاني ضعف رأس مال الأول بعد 8 سنوات.