تمارين وحلول: عبارات جبرية ومعادلات

الحل:

1) محيط المستطيل $$P_1 = 2 \times (AB + AD) = 2 \times ((x+1) + (x+1)) = 2 \times (2x+2) = 4x+4$$

2) محيط المثلث $$P_2 = IJ + IK + JK = (x+3) + (x+4) + (x+5) = 3x+12$$

3) نساوي بين المحيطين: $$P_1 = P_2$$

$$4x+4 = 3x+12$$

$$4x - 3x = 12 - 4$$

$$x = 8$$

بما أن x يجب أن يكون موجباً، فإن الحل $$x=8$$ مقبول.

الحل:

الجزء الأول:

أ) $$A = (-\frac{2}{3})^2 - 12(-\frac{2}{3}) + 27 = \frac{4}{9} + 8 + 27 = \frac{4}{9} + 35 = \frac{4}{9} + \frac{315}{9} = \frac{319}{9}$$

ب) $$(x-3)(x-9) = x^2 - 9x - 3x + 27 = x^2 - 12x + 27 = A$$.

ج) $$A=0$$ يعني $$(x-3)(x-9)=0$$. إذن $$x=3$$ أو $$x=9$$. $$S_Q = \{3, 9\}$$

---

الجزء الثاني:

أ) مساحة المثلث $$S_1 = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{BM \times BC}{2} = \frac{2x \times x}{2} = x^2$$

ب) طول ضلع المربع هو $$AM = AB - BM = 9 - 2x$$.
مساحة المربع $$S_2 = AM^2 = (9 - 2x)^2 = 81 - 36x + 4x^2$$

ج) $$S_2 - S_1 = (81 - 36x + 4x^2) - x^2 = 3x^2 - 36x + 81$$.
بأخذ 3 كعامل مشترك: $$3(x^2 - 12x + 27)$$.

د) لتكون المساحتان متساويتين، يجب أن يكون $$S_1 = S_2$$، وهو ما يعني $$S_2 - S_1 = 0$$.
إذن، $$3(x^2 - 12x + 27) = 0$$، وهذا يكافئ $$A=0$$.
الحلول الممكنة هي $$x=3$$ و $$x=9$$.
لكن، يجب أن تكون أبعاد الشكل موجبة. طول ضلع المربع $$AM = 9 - 2x$$ يجب أن يكون أكبر من صفر.
$$9 - 2x > 0 \implies 9 > 2x \implies x < 4.5$$
- الحل $$x=3$$ مقبول لأنه يحقق الشرط $$0 < 3 < 4.5$$.
- الحل $$x=9$$ مرفوض لأنه لا يحقق الشرط $$x < 4.5$$.
إذن، القيمة الوحيدة الممكنة لـ x هي 3.