عبارات حرفية - معادلات (مع الحلول المفصلة)

1. لنبين أن $$A = x^2 - 3x - 4$$

ننطلق من العبارة الأصلية لـ $$A$$ ونقوم بنشرها وتبسيطها.

• الخطوة 1: نشر الجداء $$(x - 4)(4x + 1)$$
  $$A = (x)(4x) + (x)(1) + (-4)(4x) + (-4)(1) + 12x - 3x^2$$
  $$A = 4x^2 + x - 16x - 4 + 12x - 3x^2$$
• الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة
  نجمع الحدود التي تحتوي على $$x^2$$ معًا، والحدود التي تحتوي على $$x$$ معًا، والأعداد الثابتة معًا.
  $$A = (4x^2 - 3x^2) + (x - 16x + 12x) - 4$$
  $$A = x^2 - 3x - 4$$

إذًا، أثبتنا أن $$A = x^2 - 3x - 4$$.

ب. حساب $$A$$ في حالة $$x = 4$$

نعوض $$x$$ بالقيمة 4 في العبارة المبسطة لـ $$A$$.

$$A = (4)^2 - 3(4) - 4$$
$$A = 16 - 12 - 4$$
$$A = 4 - 4 = 0$$

قيمة $$A$$ عندما $$x=4$$ هي 0.

ج. لنبين أن $$A = (x + 1)(x - 4)$$

ننشر العبارة $$(x + 1)(x - 4)$$ ونرى إذا كانت تساوي العبارة المبسطة لـ $$A$$.

$$(x + 1)(x - 4) = x(x) + x(-4) + 1(x) + 1(-4)$$
$$= x^2 - 4x + x - 4$$
$$= x^2 - 3x - 4$$

وهذه هي نفس العبارة $$A$$ التي وجدناها في الجزء الأول. إذًا، $$A = (x + 1)(x - 4)$$.

د. حل المعادلة $$A = 0$$

نستخدم الصيغة المفككة لـ $$A$$ لأنها الأسهل للحل (خاصية الجداء الصفري).

$$A = 0 \implies (x + 1)(x - 4) = 0$$

إذا كان جداء عبارتين يساوي صفر، فيجب أن تكون إحداهما (أو كلتاهما) تساوي صفر.

• إما $$x + 1 = 0 \implies x = -1$$
• أو $$x - 4 = 0 \implies x = 4$$

مجموعة الحلول هي $$S = \{-1, 4\}$$.

ه. حل المعادلة $$|A| - |8 - 2x| = 0$$

هذه المعادلة تكافئ $$|A| = |8 - 2x|$$.

• الخطوة 1: تعويض A بصيغتها المفككة
  $$|(x + 1)(x - 4)| = |8 - 2x|$$
• الخطوة 2: تبسيط الطرف الأيمن
  يمكننا إخراج 2 كعامل مشترك: $$|8 - 2x| = |2(4 - x)| = |2| \cdot |4 - x| = 2|4 - x|$$.
  نعلم أن $$|a-b| = |b-a|$$، إذن $$|4 - x| = |x - 4|$$.
  فتصبح المعادلة: $$|(x + 1)(x - 4)| = 2|x - 4|$$.
• الخطوة 3: حل المعادلة
  هناك حالتان:
  • الحالة الأولى: إذا كان $$x - 4 = 0$$، أي $$x=4$$.
    نعوض في المعادلة: $$|(4+1)(0)| = 2|0| \implies 0=0$$. إذن $$x=4$$ هو حل.
  • الحالة الثانية: إذا كان $$x \neq 4$$. يمكننا قسمة طرفي المعادلة على $$|x-4|$$ لأنه لا يساوي صفرًا.
    $$|x + 1| = 2$$
    هذا يعني أن $$x+1 = 2$$ أو $$x+1 = -2$$.
    - $$x + 1 = 2 \implies x = 1$$
    - $$x + 1 = -2 \implies x = -3$$
    إذن $$x=1$$ و $$x=-3$$ هما حلان.

مجموعة الحلول النهائية لهذه المعادلة هي $$S = \{-3, 1, 4\}$$.

أ. إيجاد $$x$$ لتطابق المثلثين

لدينا مثلثان قائمان. يتطابق مثلثان قائمان إذا تساوى فيهما ضلعان.

• معطيات المثلث $$ADE$$ (القائم في A):
  الضلعان القائمان هما $$AE = x$$ و $$AD = 2x + 1$$.
• معطيات المثلث $$BCE$$ (القائم في B):
  الضلعان القائمان هما $$BC = x$$ و $$BE$$.
  بما أن $$E$$ تقع على $$[AB]$$، فإن $$BE = AB - AE = 8 - x$$.

لكي يتطابق المثلثان، يجب أن تكون أضلاعهما القائمة متساوية. لدينا حالتان:

• الحالة 1: $$AE = BC$$ و $$AD = BE$$.
  $$x = x$$ (محققة دائمًا).
  $$2x + 1 = 8 - x \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$$.
  هذا الحل مقبول لأنه يحقق الشرط $$0 < \frac{7}{3} < 8$$.
• الحالة 2: $$AE = BE$$ و $$AD = BC$$.
  $$x = 8 - x \implies 2x = 8 \implies x = 4$$.
  $$2x + 1 = x \implies x = -1$$. هذا الحل مرفوض لأنه لا يحقق الشرط $$x>0$$.

إذًا، القيمة الوحيدة التي تجعل المثلثين متقايسين هي $$x = \frac{7}{3}$$.

ب. إيجاد $$x$$ حسب شرط المساحة

• الخطوة 1: حساب مجموع مساحتي المثلثين
  مساحة المثلث = $$\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$$
  مساحة($$ADE$$) = $$\frac{1}{2} \times AE \times AD = \frac{1}{2} x (2x + 1)$$
  مساحة($$BCE$$) = $$\frac{1}{2} \times BE \times BC = \frac{1}{2} (8 - x) x$$
  المجموع = $$\frac{1}{2} [x(2x+1) + x(8-x)] = \frac{1}{2} [2x^2 + x + 8x - x^2] = \frac{1}{2} (x^2 + 9x)$$.
• الخطوة 2: حساب مساحة شبه المنحرف $$ABCD$$
  الشكل $$ABCD$$ هو شبه منحرف قائم، قاعدتاه $$AD$$ و $$BC$$ وارتفاعه $$AB$$.
  مساحة شبه المنحرف = $$\frac{1}{2} \times (\text{القاعدة الكبرى} + \text{القاعدة الصغرى}) \times \text{الارتفاع}$$
  مساحة($$ABCD$$) = $$\frac{1}{2} (AD + BC) \times AB = \frac{1}{2} (2x + 1 + x) \times 8 = 4(3x + 1) = 12x + 4$$.
• الخطوة 3: كتابة المعادلة وحلها
  الشرط هو: مجموع المساحتين = $$\frac{1}{2}$$ مساحة شبه المنحرف.
  $$\frac{1}{2} (x^2 + 9x) = \frac{1}{2} (12x + 4)$$
  نضرب الطرفين في 2 للتخلص من النصف:
  $$x^2 + 9x = 12x + 4$$
  $$x^2 + 9x - 12x - 4 = 0$$
  $$x^2 - 3x - 4 = 0$$
• الخطوة 4: حل المعادلة التربيعية
  هذه نفس المعادلة من التمرين السابق. نعلم أن حلها هو $$(x-4)(x+1)=0$$.
  الحلول هي $$x=4$$ و $$x=-1$$.

بما أن الشرط هو $$0 < x < 8$$، فإن الحل المقبول الوحيد هو $$x = 4$$.

الخطوة 1: إيجاد $$x$$ و $$y$$

في المستطيل، كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول.

• تساوي الطولين: $$AD = BC$$
  $$3x - 4 = x + 1$$
  $$3x - x = 1 + 4$$
  $$2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} = 2.5$$. (الحل مقبول لأن $$2.5 > -1$$)
• تساوي العرضين: $$AB = DC$$
  $$2y + 1 = 5y - 2$$
  $$1 + 2 = 5y - 2y$$
  $$3 = 3y \implies y = 1$$. (الحل مقبول لأن $$1 > -1/2$$)

الخطوة 2: حساب أبعاد المستطيل

• الطول (BC): $$x + 1 = 2.5 + 1 = 3.5$$
• العرض (AB): $$2y + 1 = 2(1) + 1 = 3$$

أبعاد المستطيل هي 3.5 و 3.

الخطوة 3: حساب المساحة والمحيط

• المساحة (S): الطول $$\times$$ العرض
  $$S = 3.5 \times 3 = 10.5$$
• المحيط (P): $$2 \times$$ (الطول + العرض)
  $$P = 2 \times (3.5 + 3) = 2 \times 6.5 = 13$$

مساحة المستطيل هي 10.5 وحدة مربعة، ومحيطه هو 13 وحدة طول.

1) $$(3x - 4)(2x + 1) = 0$$

باستخدام خاصية الجداء الصفري:

• إما $$3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$$
• أو $$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$

$$S = \{\frac{4}{3}, -\frac{1}{2}\}$$

2) $$(2x + 3)(x - 5) - (3x - 1)(x - 5) = 0$$

الخطوة 1: نلاحظ وجود عامل مشترك وهو القوس $$(x - 5)$$. نقوم بالتفكيك.

$$(x - 5) \left[ (2x + 3) - (3x - 1) \right] = 0$

الخطوة 2: نبسط ما بداخل القوس الكبير. (انتبه لتغيير الإشارة بسبب الطرح)

$(x - 5) [2x + 3 - 3x + 1] = 0$ $(x - 5) (-x + 4) = 0$

الخطوة 3: نطبق خاصية الجداء الصفري.

• إما $x - 5 = 0 \implies x = 5$
• أو $-x + 4 = 0 \implies x = 4$

$S = \{5, 4\}$