🏠 الرئيسية📚 الدرس🧮 الآلة الحاسبة✏️ اللوحة🔗 سلاسل الاستنتاج🐞 مكتبة الأخطاء
🏆 0 نقطة
🤖
مرحباً!

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

🎓 مجموعة ℤالأعداد الصحيحة النسبية — مختلط⭐ متوسط
تذكير : \(\mathbb{Z} = \{\ldots\,;-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;\ldots\}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
\(\mathbb{Z}^{+}\) الموجبة (ومنها \(0\)) · \(\mathbb{Z}^{-}\) السالبة (ومنها \(0\)) · النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر » · \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) والمبدأ \(O\).
0 من 0 تمرين
📝 تمارين — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط — الصفحة 9 من 10
1 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة
نعتبر :
\(A = \left\{-5 \;;\; -13 \;;\; 0 \;;\; \dfrac{18}{3}\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :
\(A \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{18}{3}=6\)
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{0 \;;\; 6\right\}\)
2 — الاحتواء بين أجزاء ℤ
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
\(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}\).
3 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\dfrac{18}{3} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\dfrac{18}{3}=6\).
العدد \(6\) يحقّق الشرط \(x \neq 0\) ، إذن \(\dfrac{18}{3} \in \mathbb{Z}^{*}\).
4 — المصعد — ترقيم الطوابق
يتوقّف المصعد في الطابق رقم 7 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟
-8-7-6-5-4-3-2-10rez / الأرضي+1+2+3+4+5+6+7+8
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-7\).
5 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{\dfrac{18}{3} \;;\; 2 \;;\; \sqrt{9} \;;\; 8 \;;\; \dfrac{36}{4}\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \neq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عناصر المجموعة تحقّق الشرط \(x \neq 0\) ، إذن \(\left\{\dfrac{18}{3} \;;\; 2 \;;\; \sqrt{9} \;;\; 8 \;;\; \dfrac{36}{4}\right\} \subset \mathbb{Z}^{*}\).
6 — الأعداد المتقابلة
نعتبر القائمة التالية :
\(-35 \;;\; 51 \;;\; -51 \;;\; -14 \;;\; 41 \;;\; -9 \;;\; 14\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(51\) و \(-51\) ، \(14\) و \(-14\).
\(\left\{-35 \;;\; -9 \;;\; 41\right\}\)
7 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)
في المعيّن \(\left(O;I\right)\) : فاصلات النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) و \(D\) هي على التوالي \(-3\) و \(-1\) و \(2\) و \(3\).
ما هي فاصلة النقطة \(A\) في المعيّن \(\left(D;C\right)\) ؟
OIABCDx
💡 مؤشّر : في المعيّن \(\left(D;C\right)\) تصبح \(D\) هي المبدأ و \(C\) هي نقطة الوحدة.
📝 الطريقة : الوحدة الجديدة هي \(DC\) ، والفاصلة الجديدة تُحسب بـ \(\dfrac{x_M - x_{D}}{x_{C} - x_{D}}\).
✅ الحلّ الكامل :
\(\dfrac{-3 - 3}{2 - 3} = \dfrac{-6}{-1} = 6\)
8 — القيمة المطلقة — حساب
احسب :
\(\left|-28\right| = \cdots\)
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل :
\(\left|-28\right| = 28\)
9 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج
في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(2\).
ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910OAx
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|2\right|\).
✅ الحلّ الكامل :
\(OA = \left|2\right| = 2\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
10 — المصعد — التنقّل بين الطوابق
ينطلق المصعد من الطابق \(7\) ، ينزل 5 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق ثمّ ينزل 3 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟
-4-3-2-10rez / الأرضي+1+2+3+4+5+6+7+8🛗départ / الانطلاق
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(7-5+3-3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(7-5+3-3=2\) أي في الطابق 2 فوق الأرضي.
11 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x
حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
12 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة
حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| \leq 4\right\}\)
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(4\) أو تساويه.
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) (الشرط \(x \leq 0\)).
\(\left\{-4 \;;\; -3 \;;\; -2 \;;\; -1 \;;\; 0\right\}\)
13 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ
حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{*} \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \neq 0\) و \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \neq 0\) و \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{*} \cap \mathbb{Z}^{+} = \mathbb{Z}^{+*}\)
14 — المصعد — ترقيم الطوابق
يتوقّف المصعد في الطابق رقم 11 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟
-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10rez / الأرضي+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-11\).
15 — القيمة المطلقة — حساب
احسب :
\(\left|\left|-48\right| - \left(-19\right)\right| = \cdots\)
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل :
\(\left|\left|-48\right| - \left(-19\right)\right| = \left|48 - \left(-19\right)\right| = \left|67\right| = 67\)
16 — الأعداد المتقابلة
نعتبر القائمة التالية :
\(48 \;;\; -12 \;;\; 52 \;;\; 47 \;;\; 53 \;;\; -53 \;;\; -47\)
ما هو مقابل العدد \(53\) ؟
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(53\) هو \(-53\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
17 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج
في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(-8\) وفاصلة \(B\) هي \(1\).
ما هي المسافة \(AB\)؟
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910OABx
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل :
\(AB = \left|1 - \left(-8\right)\right| = \left|9\right| = 9\)
18 — المصعد — التنقّل بين الطوابق
ينطلق المصعد من الطابق \(2\) ، يصعد 3 طوابق ثمّ يصعد 8 طوابق ثمّ ينزل 8 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟
-4-3-2-10rez / الأرضي+1+2+3+4+5+6🛗départ / الانطلاق
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(2+3+8-8\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(2+3+8-8=5\) أي في الطابق 5 فوق الأرضي.
19 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)
في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، \(x_A = 3\). ولتكن \(M\) نقطة من \(\Delta\) حيث \(IM = 4\) و \(M \in \left[OA\right)\).
ما هي فاصلة \(M\) ؟
OIAx
💡 مؤشّر : المسافة \(IM = 4\) تعطي نقطتين، لكنّ الشرط \(M \in \left[OA\right)\) يحتفظ بواحدة فقط.
📝 الطريقة : نحسب الفاصلتين الممكنتين \(1+4\) و \(1-4\) ، ثمّ نختار تلك التي تقع في نصف المستقيم \(\left[OA\right)\) أي في جهة \(A\).
✅ الحلّ الكامل :
\(x_M = 1 + 4 = 5\)
الفاصلة الأخرى مرفوضة لأنّها لا تقع في نصف المستقيم \(\left[OA\right)\).
20 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x
حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{-}\) حيث \(x \leq 0\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{-}\) حيث \(x \leq 0\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)

🎉 أحسنت!

لقد أنجزت جميع التمارين

⭐⭐⭐

9 / 10