1 — المصعد — ترقيم الطوابق يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(-5\).
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).
📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق \(-5\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(5\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.
2 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
3 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{N}^{*} \cap \mathbb{N} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x > 0\) و \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x > 0\) و \(x \geq 0\).
\(\mathbb{N}^{*} \cap \mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+*}\)
تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).
تذكّر : \(\mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+*}\).
4 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(-8 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(-8\) لا يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(-8 \notin \mathbb{Z}^{+}\).
5 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = \dfrac{3}{7}\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{N}\).
✅ الحلّ الكامل : العدد \(\dfrac{3}{7}\) ليس عدداً صحيحاً طبيعياً، ولا توجد قيمة مطلقة لعدد صحيح نسبي تساويه، إذن المجموعة فارغة : \(\emptyset\).
6 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(2\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x العدد الأوّل العدد الثاني تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.
📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 2\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(2\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|2\right| = 2 \quad\text{و}\quad \left|-2\right| = 2\)
إذن العددان هما \(2\) و \(-2\) ، وهما متقابلان.
7 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|-36\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|-36\right| = 36\)
8 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{4 \;;\; 0 \;;\; -5 \;;\; 10 \;;\; -9\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \leq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(4\) يساوي \(4\) وهو لا يحقّق \(x \leq 0\) ، إذن \(\left\{4 \;;\; 0 \;;\; -5 \;;\; 10 \;;\; -9\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-}\).
9 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{N} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{N}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
10 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(-3{,}5\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-10 \;;\; -9 \;;\; -6 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 4 \;;\; 5\right\}\)
11 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(46 \;;\; -46\right)\) ، \(\left(40 \;;\; -40\right)\) ، \(\left(56 \;;\; -56\right)\) ، \(\left(28 \;;\; -28\right)\) ، أي \(4\) أزواج.
12 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(2\) ، ينزل 6 طوابق ثمّ يصعد 7 طوابق ثمّ يصعد 4 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(2-6+7+4\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(2-6+7+4=7\) أي في الطابق 7 فوق الأرضي.
13 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(1\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل .
📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = -\left(1\right) = -1\)
14 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{-*} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{-*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}\).
15 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-36\) هو \(36\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
16 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(-3\) ، يصعد 6 طوابق ثمّ يصعد طابقاً واحداً ثمّ يصعد 7 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-3\right)+6+1+7\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(\left(-3\right)+6+1+7=11\) أي في الطابق 11 فوق الأرضي.
17 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = 12\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(12\) هما \(12\) و \(-12\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{12\right\}\)
18 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\emptyset\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
19 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) : \(x_A = 5\) و \(x_B = -5\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد الوحدات التي تفصلهما : فهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : \(AB = \left|x_B - x_A\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|-5 - 5\right| = \left|-10\right| = 10\)
20 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(4\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x العدد الأوّل العدد الثاني تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.
📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 4\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(4\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|4\right| = 4 \quad\text{و}\quad \left|-4\right| = 4\)
إذن العددان هما \(4\) و \(-4\) ، وهما متقابلان.