1 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}^{+}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}^{+}\) وهو \(x \geq 0\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}^{+}\).
2 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) التالي :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الفاصلة تُقرأ انطلاقاً من \(O\) : الوحدة هي المسافة \(OI\).
📝 الطريقة : عُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، وضع الإشارة \(-\) إذا كانت النقطة على يسار \(O\).
✅ الحلّ الكامل : النقطة \(A\) تبعد عن \(O\) بـ \(4\) على اليسار ، إذن \(x_A = -4\).
3 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\dfrac{36}{4} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\dfrac{36}{4}=9\).
4 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| < 6\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(6\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4 \;;\; 5\right\}\)
5 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-6 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4 \;;\; 9\right\}\)
6 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{0 \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; 4{,}5\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \neq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(0\) يساوي \(0\) وهو لا يحقّق \(x \neq 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; 4{,}5\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).
7 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(1\) ، ينزل 5 طوابق ثمّ ينزل 5 طوابق ثمّ يصعد 7 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(1-5-5+7\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(1-5-5+7=-2\) أي في الطابق 2 تحت الأرضي.
8 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(3\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x العدد الأوّل العدد الثاني تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.
📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 3\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(3\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|3\right| = 3 \quad\text{و}\quad \left|-3\right| = 3\)
إذن العددان هما \(3\) و \(-3\) ، وهما متقابلان.
9 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 12 فوق الطابق الأرضي.
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+12\) أي \(12\).
10 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|-\left|-7\right|\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|-\left|-7\right|\right| = \left|-7\right| = 7\)
11 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
12 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{-} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \leq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \leq 0\).
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{-} = \mathbb{Z}^{-}\)
13 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(16 \;;\; -16\right)\) ، \(\left(36 \;;\; -36\right)\) ، \(\left(4 \;;\; -4\right)\) ، أي \(3\) أزواج.
14 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{-9 \;;\; -6 \;;\; -\left(-2\right)\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \leq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-\left(-2\right)\) يساوي \(2\) وهو لا يحقّق \(x \leq 0\) ، إذن \(\left\{-9 \;;\; -6 \;;\; -\left(-2\right)\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-}\).
15 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{+}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{+} = \mathbb{Z}^{+}\)
16 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{N} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left(-2\right)=2\)
العدد \(\dfrac{3}{7}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{0 \;;\; 2 \;;\; 11 \;;\; 12\right\}\)
17 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(7\) ، ينزل 6 طوابق ثمّ ينزل 5 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(7-6-5+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(7-6-5+3=-1\) أي في الطابق 1 تحت الأرضي.
18 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(-4 \;\cdots\; \mathbb{N}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{N}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(-4\) لا يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(-4 \notin \mathbb{N}\).
19 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|-\left|52\right|\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|-\left|52\right|\right| = \left|-52\right| = 52\)
20 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{*} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{*} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{Z}^{*} \subset \mathbb{Z}\).