الأعداد الصحيحة النسبية — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

1 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(8\) وفاصلة \(B\) هي \(3\).
ما هي المسافة \(AB\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.

📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.

✅ الحلّ الكامل :

\(AB = \left|3 - 8\right| = \left|-5\right| = 5\)

2 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{6 \;;\; \sqrt{9} \;;\; \dfrac{406102}{8} \;;\; 0 \;;\; \dfrac{1}{4}\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي. ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{406102}{8}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{6 \;;\; \sqrt{9} \;;\; \dfrac{406102}{8} \;;\; 0 \;;\; \dfrac{1}{4}\right\} \not\subset \mathbb{Z}\).

3 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{-} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).
\(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}^{-}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).

4 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

\(M\) نقطة من المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) حيث \(IM = 2\).
ما هي فاصلة النقطة \(M\) ؟

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : هناك نقطتان تبعدان عن نقطة معلومة بنفس المسافة : واحدة يميناً وأخرى يساراً.

📝 الطريقة : نضيف \(2\) إلى فاصلة \(I\) ثمّ نطرحها منها.

✅ الحلّ الكامل :

\(x_M = 1 + 2 = 3 \quad\text{أو}\quad x_M = 1 - 2 = -1\)

إذن للمسألة حلّان.

5 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{N}^{*} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x > 0\).

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x > 0\).

\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+}\)

تذكّر : \(\mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+*}\).

6 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(-21 \;;\; 9 \;;\; 21 \;;\; -28 \;;\; -56 \;;\; -9\)
ما هو مقابل العدد \(9\) ؟

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(9\) هو \(-9\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).

7 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|-1 - \left(-20\right)\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|-1 - \left(-20\right)\right| = \left|19\right| = 19\)

8 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{7 \;;\; 9 \;;\; -2 \;;\; 12 \;;\; -9 \;;\; \dfrac{1}{7} \;;\; -13\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cap \mathbb{Z}^{-*} = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x < 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

✅ الحلّ الكامل : العدد \(\dfrac{1}{7}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x < 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

\(\left\{-13 \;;\; -9 \;;\; -2\right\}\)

9 — المصعد — ترقيم الطوابق

يتوقّف المصعد في الطابق رقم 2 فوق الطابق الأرضي.
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.

📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+2\) أي \(2\).

10 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\dfrac{36}{4} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\dfrac{36}{4}=9\).
العدد \(9\) يحقّق الشرط \(x > 0\) ، إذن \(\dfrac{36}{4} \in \mathbb{Z}^{+*}\).

11 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\left\{0\right\}\)

الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.

12 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 9\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).

✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(9\) هما \(9\) و \(-9\).

\(\left\{-9 \;;\; 9\right\}\)

13 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(5\) ، يصعد 5 طوابق ثمّ ينزل 7 طوابق ثمّ ينزل 5 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(5+5-7-5\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(5+5-7-5=-2\) أي في الطابق 2 تحت الأرضي.

14 — المصعد — ترقيم الطوابق

يتوقّف المصعد في الطابق رقم 7 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.

📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-7\).

15 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{4 \;;\; \dfrac{1}{4} \;;\; -2\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x > 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{1}{4}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{4 \;;\; \dfrac{1}{4} \;;\; -2\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).

16 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(-3{,}5 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) هو : \(x \leq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(-3{,}5\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(-3{,}5 \notin \mathbb{Z}^{-}\).

17 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| < 5\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).

✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(5\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).

\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4\right\}\)

18 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) التالي :
ما هي فاصلة النقطة \(A\) ؟

💡 مؤشّر : الفاصلة تُقرأ انطلاقاً من \(O\) : الوحدة هي المسافة \(OI\).

📝 الطريقة : عُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، وضع الإشارة \(-\) إذا كانت النقطة على يسار \(O\).

✅ الحلّ الكامل : النقطة \(A\) تبعد عن \(O\) بـ \(7\) على اليسار ، إذن \(x_A = -7\).

19 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{+}\)

20 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|-51 - 38\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|-51 - 38\right| = \left|-89\right| = 89\)

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

🎉 أحسنت!