1 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(3\) ، ينزل 6 طوابق ثمّ يصعد 8 طوابق ثمّ يصعد 5 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(3-6+8+5\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(3-6+8+5=10\) أي في الطابق 10 فوق الأرضي.
2 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(19 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(19\) يحقّق الشرط \(x > 0\) ، إذن \(19 \in \mathbb{Z}^{+*}\).
3 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :لا يوجد مقابلها في القائمة.
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(31\) و \(-31\) ، \(27\) و \(-27\) ، \(52\) و \(-52\) ، \(53\) و \(-53\).
\(\left\{-48 \;;\; 6 \;;\; 45\right\}\)
4 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-4\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-4\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(OA = \left|-4\right| = 4\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
5 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{0 \;;\; 7 \;;\; -10 \;;\; 11\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x > 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(0\) يساوي \(0\) وهو لا يحقّق \(x > 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; 7 \;;\; -10 \;;\; 11\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
6 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|21\right| - \left|9\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|21\right| - \left|9\right| = 21-9 = 12\)
7 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{-9}{3}=-3\)
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-12 \;;\; -9 \;;\; -7 \;;\; -6 \;;\; -5 \;;\; -3 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 5 \;;\; 6\right\}\)
8 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = \left|-\left(-7\right)\right|\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\left|-\left(-7\right)\right| = 7\).
العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(7\) هما \(7\) و \(-7\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) (الشرط \(x \leq 0\)).
\(\left\{-7\right\}\)
9 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
10 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{+*} \cap \left\{0\right\} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x > 0\) و \(x = 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x > 0\) و \(x = 0\).
\(\mathbb{Z}^{+*} \cap \left\{0\right\} = \emptyset\)
لا يوجد أيّ عدد يحقّق الشرطين معاً، إذن المجموعة فارغة.
11 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 2 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-2\).
12 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) : \(x_A = -6\) و \(x_B = -5\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد الوحدات التي تفصلهما : فهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : \(AB = \left|x_B - x_A\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|-5 - \left(-6\right)\right| = \left|1\right| = 1\)
13 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{-*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}^{*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{-*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}^{*}\) وهو \(x \neq 0\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}^{*}\).
14 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{-13 \;;\; \sqrt{25} \;;\; 0 \;;\; 12\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \neq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(0\) يساوي \(0\) وهو لا يحقّق \(x \neq 0\) ، إذن \(\left\{-13 \;;\; \sqrt{25} \;;\; 0 \;;\; 12\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).
15 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{+} = \mathbb{Z}^{+}\)
16 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(-3\) ، ينزل طابقين ثمّ ينزل 4 طوابق ثمّ يصعد 8 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-3\right)-2-4+8\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(\left(-3\right)-2-4+8=-1\) أي في الطابق 1 تحت الأرضي.
17 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| \leq 6\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(6\) أو تساويه.
\(\left\{-6 \;;\; -5 \;;\; -4 \;;\; -3 \;;\; -2 \;;\; -1 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4 \;;\; 5 \;;\; 6\right\}\)
18 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|\left|-8\right| - 34\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|\left|-8\right| - 34\right| = \left|8 - 34\right| = \left|-26\right| = 26\)
19 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z} \;\cdots\; \mathbb{N}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}\) و \(-1 \notin \mathbb{N}\) ، إذن \(\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}\).
20 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\left\{0\right\}\)
الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.