الأعداد الصحيحة النسبية — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

1 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{-12 \;;\; 0 \;;\; \dfrac{3}{7} \;;\; \dfrac{406102}{8}\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x > 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-12\) يساوي \(-12\) وهو لا يحقّق \(x > 0\) ، إذن \(\left\{-12 \;;\; 0 \;;\; \dfrac{3}{7} \;;\; \dfrac{406102}{8}\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).

2 — المصعد — ترقيم الطوابق

يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(-7\).
كم عدد الطوابق التي تفصله عن الطابق الأرضي (نزولاً)؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).

📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطابق \(-7\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(7\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.

3 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(14 \;;\; -53 \;;\; -47 \;;\; -20 \;;\; 53 \;;\; 22 \;;\; 20\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(53\) و \(-53\) ، \(20\) و \(-20\).

\(\left\{-47 \;;\; 14 \;;\; 22\right\}\)

4 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{-10 \;;\; 0 \;;\; \dfrac{36}{4} \;;\; \dfrac{-9}{3} \;;\; 2 \;;\; 6 \;;\; 13\right\}\)
\(B = \left\{-8 \;;\; -6 \;;\; -1 \;;\; 10\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cup B = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.

✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{36}{4}=9\) ، \(\dfrac{-9}{3}=-3\)
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.

\(\left\{-10 \;;\; -8 \;;\; -6 \;;\; -3 \;;\; -1 \;;\; 0 \;;\; 2 \;;\; 6 \;;\; 9 \;;\; 10 \;;\; 13\right\}\)

5 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{-*}\) هو : \(x < 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) لا يحقّق الشرط \(x < 0\) ، إذن \(0 \notin \mathbb{Z}^{-*}\).
انتبه : النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر ».

6 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|-\left|3\right|\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.

✅ الحلّ الكامل :

7 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| \leq 2\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{N}\).

✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(2\) أو تساويه.
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{N}\) (الشرط \(x \geq 0\)).

\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2\right\}\)

8 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{Z}^{-*} \cup \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x < 0\) أو \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x < 0\) أو \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{-*} \cup \mathbb{Z}^{+} = \mathbb{Z}\)

9 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{+}\)

10 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
\(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).

11 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(5\) وفاصلة \(B\) هي \(-9\).
ما هي المسافة \(AB\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.

📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.

✅ الحلّ الكامل :

\(AB = \left|-9 - 5\right| = \left|-14\right| = 14\)

12 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المعيّن \(\left(O;I\right)\) : \(x_A = 2\) و \(x_B = 3\).
احسب المسافة \(AB\).

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد الوحدات التي تفصلهما : فهي دائماً موجبة.

📝 الطريقة : \(AB = \left|x_B - x_A\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(AB = \left|3 - 2\right| = \left|1\right| = 1\)

13 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(6\) ، يصعد طابقاً واحداً ثمّ ينزل طابقين ثمّ يصعد طابقاً واحداً.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(6+1-2+1\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(6+1-2+1=6\) أي في الطابق 6 فوق الأرضي.

14 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \geq 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \geq 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.

\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^{+}\)

تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).

15 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{1 \;;\; -11 \;;\; \dfrac{36}{4} \;;\; \sqrt{25}\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x < 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(1\) يساوي \(1\) وهو لا يحقّق \(x < 0\) ، إذن \(\left\{1 \;;\; -11 \;;\; \dfrac{36}{4} \;;\; \sqrt{25}\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).

16 — المصعد — ترقيم الطوابق

يتوقّف المصعد في الطابق رقم 8 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.

📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-8\).

17 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|32 - 18\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|32 - 18\right| = \left|14\right| = 14\)

18 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
\(\mathbb{Z}^{*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}^{*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{Z}^{+}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).

19 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

\(M\) نقطة من المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) حيث \(IM = 2\).
ما هي فاصلة النقطة \(M\) ؟

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : هناك نقطتان تبعدان عن نقطة معلومة بنفس المسافة : واحدة يميناً وأخرى يساراً.

📝 الطريقة : نضيف \(2\) إلى فاصلة \(I\) ثمّ نطرحها منها.

✅ الحلّ الكامل :

\(x_M = 1 + 2 = 3 \quad\text{أو}\quad x_M = 1 - 2 = -1\)

إذن للمسألة حلّان.

20 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(8\) ، ينزل 5 طوابق ثمّ يصعد طابقاً واحداً ثمّ ينزل طابقين.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(8-5+1-2\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(8-5+1-2=2\) أي في الطابق 2 فوق الأرضي.

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

🎉 أحسنت!