📝 الطريقة : التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{12}{2}=6\) العدد \(\dfrac{1}{4}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً. التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.
\(\emptyset\)
4 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)
في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(0\). ما هي فاصلة النقطة \(A'\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) ؟
💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل.
📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).
✅ الحلّ الكامل :
\(x_{A'} = -\left(0\right) = 0\)
5 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها
أتمّم بالرمز المناسب :
\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) لا يحقّق الشرط \(x > 0\) ، إذن \(0 \notin \mathbb{Z}^{+*}\). انتبه : النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر ».
6 — الأعداد المتقابلة
نعتبر القائمة التالية : \(-21 \;;\; 21 \;;\; 8 \;;\; -8 \;;\; 23 \;;\; -55 \;;\; 55 \;;\; 4 \;;\; -13\) كم زوجاً من الأعداد المتقابلة توجد في هذه القائمة؟
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(21 \;;\; -21\right)\) ، \(\left(8 \;;\; -8\right)\) ، \(\left(55 \;;\; -55\right)\) ، أي \(3\) أزواج.
7 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ
حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{-} \cap \mathbb{Z} = \cdots\)
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \leq 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \leq 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية. نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\dfrac{15}{3} = 5\). العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(5\) هما \(5\) و \(-5\). ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{5\right\}\)
14 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج
في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-9\). ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-9\right|\).
✅ الحلّ الكامل :
\(OA = \left|-9\right| = 9\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
15 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left|-3\right| \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}\) هو : \(x\) عدد صحيح نسبي. تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\left|-3\right|=3\). العدد \(3\) يحقّق الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\left|-3\right| \in \mathbb{Z}\).
16 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة
نعتبر : \(A = \left\{0 \;;\; -7 \;;\; -12 \;;\; -9 \;;\; 13 \;;\; -2\right\}\) حدّد المجموعة التالية :
\(A \cap \mathbb{Z}^{-} = \cdots\)
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.