1 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{\dfrac{3}{2} \;;\; 0 \;;\; \dfrac{1}{4}\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x > 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{3}{2}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{\dfrac{3}{2} \;;\; 0 \;;\; \dfrac{1}{4}\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
2 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(1\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(I\) فاصلتها \(1\) ، وهي منتصف \(\left[AA'\right]\).
📝 الطريقة : إذا كان \(I\) منتصف \(\left[AA'\right]\) فإنّ \(x_{A'} = 2 \times x_I - x_A = 2 - x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = 2 - 1 = 1\)
تحقّق : \(IA = IA' = 0\).
3 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(49 \;;\; -49\right)\) ، \(\left(8 \;;\; -8\right)\) ، \(\left(59 \;;\; -59\right)\) ، أي \(3\) أزواج.
4 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(-5 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(-5\) لا يحقّق الشرط \(x > 0\) ، إذن \(-5 \notin \mathbb{Z}^{+*}\).
5 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 4 فوق الطابق الأرضي.
-5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+4\) أي \(4\).
6 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|-\left|7\right|\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|-\left|7\right|\right| = \left|-7\right| = 7\)
7 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{*} \cup \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}\) \(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \neq 0\) أو \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \neq 0\) أو \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{*} \cup \mathbb{Z}^{+} = \mathbb{Z}\)
8 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(8\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|8\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(OA = \left|8\right| = 8\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
9 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\left\{0\right\}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\left\{0\right\}\)
الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.
10 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}^{+}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+}\) ، إذن \(\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).
11 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(3\) ، ينزل 4 طوابق ثمّ يصعد 4 طوابق ثمّ ينزل 4 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(3-4+4-4\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(3-4+4-4=-1\) أي في الطابق 1 تحت الأرضي.
12 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = -3\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : القيمة المطلقة موجبة دائماً، فلا يمكن أن تكون تساوي \(-3\) وهو عدد سالب، إذن المجموعة فارغة : \(\emptyset\).
13 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{+*} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x > 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{12}{2}=6\)
العدد \(\dfrac{1}{4}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x > 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{6\right\}\)
14 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{Z}^{+*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{+}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x = 0\) و \(x > 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x = 0\) و \(x > 0\).
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{Z}^{+*} = \emptyset\)
لا يوجد أيّ عدد يحقّق الشرطين معاً، إذن المجموعة فارغة.
15 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{-}\) حيث \(x \leq 0\).
\(\left\{0\right\}\)
الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.
16 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(-1\) ، يصعد 4 طوابق ثمّ يصعد 5 طوابق ثمّ يصعد طابقاً واحداً.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-1\right)+4+5+1\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(\left(-1\right)+4+5+1=9\) أي في الطابق 9 فوق الأرضي.
17 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left(-4\right)=4\) ، \(\sqrt{25}=5\)
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-12 \;;\; -8 \;;\; -5 \;;\; 0 \;;\; 4 \;;\; 5 \;;\; 7 \;;\; 8 \;;\; 13\right\}\)
18 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 2 فوق الطابق الأرضي.
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+2\) أي \(2\).
19 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(-42 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) هو : \(x \leq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(-42\) يحقّق الشرط \(x \leq 0\) ، إذن \(-42 \in \mathbb{Z}^{-}\).
20 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(52\) هو \(-52\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).