1 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{-11 \;;\; -4 \;;\; -9 \;;\; 7 \;;\; 11\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x < 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(7\) يساوي \(7\) وهو لا يحقّق \(x < 0\) ، إذن \(\left\{-11 \;;\; -4 \;;\; -9 \;;\; 7 \;;\; 11\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).
2 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\dfrac{-9}{3} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\dfrac{-9}{3}=-3\).
3 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}\) \(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{-}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
4 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(4\) ، ينزل طابقين ثمّ يصعد 4 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(4-2+4+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(4-2+4+3=9\) أي في الطابق 9 فوق الأرضي.
5 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{12}{2}=6\)
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-4 \;;\; -3 \;;\; 0 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 5 \;;\; 6\right\}\)
6 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}^{-*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(1 \in \mathbb{Z}\) و \(1 \notin \mathbb{Z}^{-*}\) ، إذن \(\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).
7 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-9\) هو \(9\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
8 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| \leq 4\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(4\) أو تساويه.
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4\right\}\)
9 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق الأرضي.
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق الأرضي هو نقطة الانطلاق، يوافقه العدد \(0\)، وهو لا موجب ولا سالب.
10 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|\left|31\right| - 2\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|\left|31\right| - 2\right| = \left|31 - 2\right| = \left|29\right| = 29\)
11 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) التالي :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الفاصلة تُقرأ انطلاقاً من \(O\) : الوحدة هي المسافة \(OI\).
📝 الطريقة : عُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، وضع الإشارة \(-\) إذا كانت النقطة على يسار \(O\).
✅ الحلّ الكامل : النقطة \(A\) تبعد عن \(O\) بـ \(4\) على اليمين ، إذن \(x_A = 4\).
12 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(-7\) وفاصلة \(B\) هي \(-8\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|-8 - \left(-7\right)\right| = \left|-1\right| = 1\)
13 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{N}^{*} \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
\(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{+}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x > 0\) و \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x > 0\) و \(x \geq 0\).
\(\mathbb{N}^{*} \cap \mathbb{Z}^{+} = \mathbb{Z}^{+*}\)
تذكّر : \(\mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+*}\).
14 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(8\) وفاصلة \(B\) هي \(2\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|2 - 8\right| = \left|-6\right| = 6\)
15 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(7\) ، ينزل 3 طوابق ثمّ يصعد طابقاً واحداً ثمّ ينزل 4 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(7-3+1-4\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(7-3+1-4=1\) أي في الطابق 1 فوق الأرضي.
16 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|\left|15\right| - 25\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|\left|15\right| - 25\right| = \left|15 - 25\right| = \left|-10\right| = 10\)
17 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = -3\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{N}\).
✅ الحلّ الكامل : القيمة المطلقة موجبة دائماً، فلا يمكن أن تكون تساوي \(-3\) وهو عدد سالب، إذن المجموعة فارغة : \(\emptyset\).
18 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(7\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(I\) فاصلتها \(1\) ، وهي منتصف \(\left[AA'\right]\).
📝 الطريقة : إذا كان \(I\) منتصف \(\left[AA'\right]\) فإنّ \(x_{A'} = 2 \times x_I - x_A = 2 - x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = 2 - 7 = -5\)
تحقّق : \(IA = IA' = 6\).
19 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق الأرضي.
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق الأرضي هو نقطة الانطلاق، يوافقه العدد \(0\)، وهو لا موجب ولا سالب.
20 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)