الأعداد الصحيحة النسبية — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

1 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\sqrt{9} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\sqrt{9}=3\).
العدد \(3\) يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(\sqrt{9} \in \mathbb{Z}^{+}\).

2 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{+}\)

3 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{-5 \;;\; 0 \;;\; -12\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \leq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : كلّ عناصر المجموعة تحقّق الشرط \(x \leq 0\) ، إذن \(\left\{-5 \;;\; 0 \;;\; -12\right\} \subset \mathbb{Z}^{-}\).

4 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{-*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
\(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}^{-*}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-*} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).

5 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(12 \;;\; 46 \;;\; -21 \;;\; -46 \;;\; -12 \;;\; -16 \;;\; -33 \;;\; 33\)
ما هو مقابل العدد \(33\) ؟

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(33\) هو \(-33\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).

6 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(1\) ، يصعد طابقاً واحداً ثمّ ينزل 7 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(1+1-7+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(1+1-7+3=-2\) أي في الطابق 2 تحت الأرضي.

7 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{Z}^{-*} \cup \mathbb{Z} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x < 0\) أو \(x\) عدد صحيح نسبي.

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x < 0\) أو \(x\) عدد صحيح نسبي.

\(\mathbb{Z}^{-*} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)

8 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المعيّن \(\left(O;I\right)\) : \(x_A = -2\) و \(x_B = -3\).
احسب المسافة \(AB\).

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد الوحدات التي تفصلهما : فهي دائماً موجبة.

📝 الطريقة : \(AB = \left|x_B - x_A\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(AB = \left|-3 - \left(-2\right)\right| = \left|-1\right| = 1\)

9 — المصعد — ترقيم الطوابق

يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(7\).
كم عدد الطوابق التي تفصله عن الطابق الأرضي (صعوداً)؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).

📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطابق \(7\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(7\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.

10 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{0 \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; -12 \;;\; 8 \;;\; 5\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{18}{3}=6\)
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

\(\left\{0 \;;\; 5 \;;\; 6 \;;\; 8\right\}\)

11 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(10\).
(أي النقطتان اللتان تبعدان عن \(O\) بـ \(10\) وحدات)

العدد الأوّلالعدد الثاني

💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.

📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 10\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(10\).

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|10\right| = 10 \quad\text{و}\quad \left|-10\right| = 10\)

إذن العددان هما \(10\) و \(-10\) ، وهما متقابلان.

12 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = 1\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\).

✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(1\) هما \(1\) و \(-1\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) (الشرط \(x \leq 0\)).

\(\left\{-1\right\}\)

13 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|\left|44\right| - 21\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.

✅ الحلّ الكامل :

14 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{\dfrac{3}{7} \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; 0 \;;\; -6 \;;\; 9 \;;\; \dfrac{1}{7} \;;\; -2\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cap \mathbb{Z}^{*} = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \neq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{18}{3}=6\)
الأعداد \(\dfrac{3}{7}\) ، \(\dfrac{1}{7}\) ليست أعداداً صحيحة نسبية.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \neq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

\(\left\{-6 \;;\; -2 \;;\; 6 \;;\; 9\right\}\)

15 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|56\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|56\right| = 56\)

16 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(7\) ، يصعد طابقاً واحداً ثمّ يصعد 3 طوابق ثمّ ينزل 6 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(7+1+3-6\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(7+1+3-6=5\) أي في الطابق 5 فوق الأرضي.

17 — المصعد — ترقيم الطوابق

يتوقّف المصعد في الطابق الأرضي.
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.

📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطابق الأرضي هو نقطة الانطلاق، يوافقه العدد \(0\)، وهو لا موجب ولا سالب.

18 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left|-5\right| \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\left|-5\right|=5\).
العدد \(5\) يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(\left|-5\right| \in \mathbb{Z}^{+}\).

19 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(57 \;;\; 11 \;;\; 39 \;;\; 51 \;;\; -39 \;;\; -51 \;;\; -45 \;;\; 45 \;;\; 41\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(39\) و \(-39\) ، \(51\) و \(-51\) ، \(45\) و \(-45\).

\(\left\{11 \;;\; 41 \;;\; 57\right\}\)

20 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-2\).
ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.

📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-2\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(OA = \left|-2\right| = 2\)

المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

🎉 أحسنت!