1 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :لا يوجد مقابلها في القائمة.
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(32\) و \(-32\) ، \(8\) و \(-8\) ، \(60\) و \(-60\).
\(\left\{-22 \;;\; 15\right\}\)
2 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 2\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(2\) هما \(2\) و \(-2\).
\(\left\{-2 \;;\; 2\right\}\)
3 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
4 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(-4\) وفاصلة \(B\) هي \(5\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|5 - \left(-4\right)\right| = \left|9\right| = 9\)
5 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{-*} \cap \mathbb{N} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x < 0\) و \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x < 0\) و \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{-*} \cap \mathbb{N} = \emptyset\)
لا يوجد أيّ عدد يحقّق الشرطين معاً، إذن المجموعة فارغة.
تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).
6 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|\left|17\right| - 23\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|\left|17\right| - 23\right| = \left|17 - 23\right| = \left|-6\right| = 6\)
7 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}^{*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{Z}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\) ، إذن \(\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).
8 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 1 فوق الطابق الأرضي.
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+1\) أي \(1\).
9 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{18}{3}=6\) ، \(\left|-3\right|=3\)
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-11 \;;\; -4 \;;\; -3 \;;\; -1 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 6 \;;\; 7\right\}\)
10 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{0 \;;\; -\left|-7\right| \;;\; 8 \;;\; -5\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-\left|-7\right|\) يساوي \(-7\) وهو لا يحقّق \(x \geq 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; -\left|-7\right| \;;\; 8 \;;\; -5\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).
11 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) \(M\) نقطة من المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) حيث \(IM = 4\).
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك نقطتان تبعدان عن نقطة معلومة بنفس المسافة : واحدة يميناً وأخرى يساراً.
📝 الطريقة : نضيف \(4\) إلى فاصلة \(I\) ثمّ نطرحها منها.
✅ الحلّ الكامل : \(x_M = 1 + 4 = 5 \quad\text{أو}\quad x_M = 1 - 4 = -3\)
إذن للمسألة
حلّان .
12 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(4 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(4\) يحقّق الشرط \(x > 0\) ، إذن \(4 \in \mathbb{Z}^{+*}\).
13 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(3\) ، يصعد طابقاً واحداً ثمّ ينزل طابقين ثمّ ينزل طابقين.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(3+1-2-2\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(3+1-2-2=0\) أي أنّه يتوقّف في الطابق الأرضي.
14 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\emptyset\) \(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
15 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(9\) وفاصلة \(B\) هي \(-2\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|-2 - 9\right| = \left|-11\right| = 11\)
16 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{13 \;;\; -3{,}5 \;;\; -8 \;;\; \dfrac{3}{7}\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي. ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-3{,}5\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{13 \;;\; -3{,}5 \;;\; -8 \;;\; \dfrac{3}{7}\right\} \not\subset \mathbb{Z}\).
17 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{-*}\) هو : \(x < 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) لا يحقّق الشرط \(x < 0\) ، إذن \(0 \notin \mathbb{Z}^{-*}\).انتبه : النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر ».
18 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(5\) ، يصعد 5 طوابق ثمّ يصعد 6 طوابق ثمّ ينزل 8 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(5+5+6-8\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(5+5+6-8=8\) أي في الطابق 8 فوق الأرضي.
19 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق الأرضي.
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق الأرضي هو نقطة الانطلاق، يوافقه العدد \(0\)، وهو لا موجب ولا سالب.
20 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{-*} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x < 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x < 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{-1\right\}\)