الأعداد الصحيحة النسبية — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

1 — المصعد — ترقيم الطوابق

يتوقّف المصعد في الطابق رقم 9 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.

📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-9\).

2 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، \(x_A = -1\). ولتكن \(M\) نقطة من \(\Delta\) حيث \(IM = 3\) و \(M \in \left[OA\right)\).
ما هي فاصلة \(M\) ؟

💡 مؤشّر : المسافة \(IM = 3\) تعطي نقطتين، لكنّ الشرط \(M \in \left[OA\right)\) يحتفظ بواحدة فقط.

📝 الطريقة : نحسب الفاصلتين الممكنتين \(1+3\) و \(1-3\) ، ثمّ نختار تلك التي تقع في نصف المستقيم \(\left[OA\right)\) أي في جهة \(A\).

✅ الحلّ الكامل :

\(x_M = 1 - 3 = -2\)

الفاصلة الأخرى مرفوضة لأنّها لا تقع في نصف المستقيم \(\left[OA\right)\).

3 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(20 \;;\; 36 \;;\; -11 \;;\; -12 \;;\; 12 \;;\; -20\)
كم زوجاً من الأعداد المتقابلة توجد في هذه القائمة؟

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(20 \;;\; -20\right)\) ، \(\left(12 \;;\; -12\right)\) ، أي \(2\) أزواج.

4 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(7\) ، يصعد 3 طوابق ثمّ يصعد طابقاً واحداً ثمّ ينزل 8 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(7+3+1-8\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(7+3+1-8=3\) أي في الطابق 3 فوق الأرضي.

5 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{0 \;;\; 10 \;;\; 4\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \leq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(10\) يساوي \(10\) وهو لا يحقّق \(x \leq 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; 10 \;;\; 4\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-}\).

6 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{-}\) حيث \(x \leq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{-}\) حيث \(x \leq 0\).

\(\mathbb{Z}^{-}\)

7 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{Z} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x\) عدد صحيح نسبي.

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x\) عدد صحيح نسبي.

\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)

8 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = 7\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).

✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(7\) هما \(7\) و \(-7\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).

\(\left\{7\right\}\)

9 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(2\).
ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.

📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|2\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(OA = \left|2\right| = 2\)

المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.

10 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{-} \;\cdots\; \mathbb{N}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).
\(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-} \subset \mathbb{N}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}^{-}\) و \(-1 \notin \mathbb{N}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-} \not\subset \mathbb{N}\).

11 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(10 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(10\) يحقّق الشرط \(x \neq 0\) ، إذن \(10 \in \mathbb{Z}^{*}\).

12 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|\left|15\right| - 23\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.

✅ الحلّ الكامل :

13 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{0 \;;\; 8 \;;\; 11 \;;\; -10\right\}\)
\(B = \left\{6 \;;\; 0 \;;\; -10 \;;\; -12 \;;\; 12\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cup B = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.

✅ الحلّ الكامل : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.

\(\left\{-12 \;;\; -10 \;;\; 0 \;;\; 6 \;;\; 8 \;;\; 11 \;;\; 12\right\}\)

14 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-3\).
ما هي فاصلة النقطة \(A'\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) ؟

💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل.

📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).

✅ الحلّ الكامل :

\(x_{A'} = -\left(-3\right) = 3\)

15 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{+}\)

16 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|-42\right| + \left|-13\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|-42\right| + \left|-13\right| = 42+13 = 55\)

17 — المصعد — ترقيم الطوابق

يتوقّف المصعد في الطابق رقم 9 فوق الطابق الأرضي.
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.

📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+9\) أي \(9\).

18 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{0 \;;\; -9 \;;\; 7 \;;\; -5 \;;\; 4{,}5 \;;\; 5\right\}\)
\(B = \left\{0 \;;\; -2 \;;\; -9 \;;\; 11 \;;\; 8\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cup B = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(4{,}5\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.

\(\left\{-9 \;;\; -5 \;;\; -2 \;;\; 0 \;;\; 5 \;;\; 7 \;;\; 8 \;;\; 11\right\}\)

19 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(8\).
ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.

📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|8\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(OA = \left|8\right| = 8\)

المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.

20 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
\(\mathbb{Z}^{-}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}^{-}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(1 \in \mathbb{Z}^{+}\) و \(1 \notin \mathbb{Z}^{-}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \not\subset \mathbb{Z}^{-}\).

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

🎉 أحسنت!