الأعداد الصحيحة النسبية — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

1 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(-39 \;;\; -22 \;;\; -38 \;;\; 59 \;;\; 38 \;;\; -33 \;;\; 39\)
ما هو مقابل العدد \(-39\) ؟

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-39\) هو \(39\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).

2 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\left\{0\right\}\)

الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.

3 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|-\left|-29\right|\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.

✅ الحلّ الكامل :

4 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{-9 \;;\; 0 \;;\; -1 \;;\; -2 \;;\; 9 \;;\; 11 \;;\; 2\right\}\)
\(B = \left\{0 \;;\; -3 \;;\; -12 \;;\; 5 \;;\; -2\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cap B = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.

✅ الحلّ الكامل : التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.

\(\left\{-2 \;;\; 0\right\}\)

5 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-5\).
ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.

📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-5\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(OA = \left|-5\right| = 5\)

المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.

6 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، \(x_A = -6\). ولتكن \(M\) نقطة من \(\Delta\) حيث \(IM = 6\) و \(M \in \left[OA\right)\).
ما هي فاصلة \(M\) ؟

💡 مؤشّر : المسافة \(IM = 6\) تعطي نقطتين، لكنّ الشرط \(M \in \left[OA\right)\) يحتفظ بواحدة فقط.

📝 الطريقة : نحسب الفاصلتين الممكنتين \(1+6\) و \(1-6\) ، ثمّ نختار تلك التي تقع في نصف المستقيم \(\left[OA\right)\) أي في جهة \(A\).

✅ الحلّ الكامل :

\(x_M = 1 - 6 = -5\)

الفاصلة الأخرى مرفوضة لأنّها لا تقع في نصف المستقيم \(\left[OA\right)\).

7 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{0 \;;\; -\left(-4\right) \;;\; \dfrac{3}{7} \;;\; -6 \;;\; 1\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \leq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-\left(-4\right)\) يساوي \(4\) وهو لا يحقّق \(x \leq 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; -\left(-4\right) \;;\; \dfrac{3}{7} \;;\; -6 \;;\; 1\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-}\).

8 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| \leq -7\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).

✅ الحلّ الكامل : القيمة المطلقة موجبة دائماً، فلا يمكن أن تكون أصغر من أو تساوي \(-7\) وهو عدد سالب، إذن المجموعة فارغة : \(\emptyset\).

9 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
\(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}\).

10 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) لا يحقّق الشرط \(x \neq 0\) ، إذن \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\).
انتبه : النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر ».

11 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(8\) ، يصعد 3 طوابق ثمّ يصعد 7 طوابق ثمّ ينزل 4 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(8+3+7-4\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(8+3+7-4=14\) أي في الطابق 14 فوق الأرضي.

12 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{Z}^{+*} \cup \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x > 0\) أو \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x > 0\) أو \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{+*} \cup \mathbb{Z}^{+} = \mathbb{Z}^{+}\)

13 — المصعد — ترقيم الطوابق

يتوقّف المصعد في الطابق رقم 9 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.

📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-9\).

14 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(-3\) ، يصعد 8 طوابق ثمّ يصعد 6 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-3\right)+8+6+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(\left(-3\right)+8+6+3=14\) أي في الطابق 14 فوق الأرضي.

15 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(0 \;\cdots\; \mathbb{N}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية.

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{N}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(0 \in \mathbb{N}\).

16 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{N} \cup \left\{0\right\} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \geq 0\) أو \(x = 0\).

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \geq 0\) أو \(x = 0\).

\(\mathbb{N} \cup \left\{0\right\} = \mathbb{Z}^{+}\)

تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).

17 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).

\(\mathbb{Z}^{-}\)

18 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-4\).
ما هي فاصلة النقطة \(A'\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) ؟

💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل.

📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).

✅ الحلّ الكامل :

\(x_{A'} = -\left(-4\right) = 4\)

19 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
\(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}^{+}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+}\) ، إذن \(\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).

20 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(26 \;;\; 51 \;;\; 49 \;;\; 15 \;;\; -51 \;;\; -19 \;;\; 57 \;;\; -49 \;;\; -26 \;;\; 19 \;;\; -8\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(26\) و \(-26\) ، \(51\) و \(-51\) ، \(49\) و \(-49\) ، \(19\) و \(-19\).

\(\left\{-8 \;;\; 15 \;;\; 57\right\}\)

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

🎉 أحسنت!