1 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|53\right| + \left|-35\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|53\right| + \left|-35\right| = 53+35 = 88\)
2 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(5\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(I\) فاصلتها \(1\) ، وهي منتصف \(\left[AA'\right]\).
📝 الطريقة : إذا كان \(I\) منتصف \(\left[AA'\right]\) فإنّ \(x_{A'} = 2 \times x_I - x_A = 2 - x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = 2 - 5 = -3\)
تحقّق : \(IA = IA' = 4\).
3 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}\) هو : \(x\) عدد صحيح نسبي. تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) يحقّق الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(0 \in \mathbb{Z}\).
4 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-4\) هو \(4\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
5 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(3\) ، ينزل 6 طوابق ثمّ يصعد 7 طوابق ثمّ يصعد 5 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(3-6+7+5\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(3-6+7+5=9\) أي في الطابق 9 فوق الأرضي.
6 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{5 \;;\; -11 \;;\; 0\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x < 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(5\) يساوي \(5\) وهو لا يحقّق \(x < 0\) ، إذن \(\left\{5 \;;\; -11 \;;\; 0\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).
7 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(6\) وفاصلة \(B\) هي \(-9\).
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|-9 - 6\right| = \left|-15\right| = 15\)
8 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = 9\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(9\) هما \(9\) و \(-9\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) (الشرط \(x \leq 0\)).
\(\left\{-9\right\}\)
9 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 4 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
-5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-4\).
10 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{N}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{N}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+}\) يحقّق شرط \(\mathbb{N}\) وهو \(x \geq 0\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{N}\).ملاحظة : هاتان المجموعتان متساويتان : \(\mathbb{Z}^{+} = \mathbb{N}\) ، وكلّ مجموعة محتواة في نفسها.
11 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{*} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \neq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left(-4\right)=4\)
العدد \(\dfrac{3}{7}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \neq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{-10 \;;\; -9 \;;\; -7 \;;\; 4 \;;\; 10\right\}\)
12 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\left\{0\right\}\)
الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.
13 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{N} = \cdots\)
\(\emptyset\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x = 0\) و \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x = 0\) و \(x \geq 0\).
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{N} = \left\{0\right\}\)
تذكّر : الصفر هو العدد الوحيد الذي هو موجب وسالب في آن واحد.
تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).
14 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{11 \;;\; -11 \;;\; -10 \;;\; 6 \;;\; 0\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x > 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-11\) يساوي \(-11\) وهو لا يحقّق \(x > 0\) ، إذن \(\left\{11 \;;\; -11 \;;\; -10 \;;\; 6 \;;\; 0\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
15 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(3\) ، يصعد 6 طوابق ثمّ ينزل 3 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(3+6-3+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(3+6-3+3=9\) أي في الطابق 9 فوق الأرضي.
16 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(-9\) وفاصلة \(B\) هي \(8\).
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|8 - \left(-9\right)\right| = \left|17\right| = 17\)
17 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{+*} \cap \mathbb{Z}^{-*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\emptyset\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x > 0\) و \(x < 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x > 0\) و \(x < 0\).
\(\mathbb{Z}^{+*} \cap \mathbb{Z}^{-*} = \emptyset\)
لا يوجد أيّ عدد يحقّق الشرطين معاً، إذن المجموعة فارغة.
18 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{Z}^{+}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
19 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{-}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
20 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(0\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل .
📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = -\left(0\right) = 0\)