1 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left(-2\right)=2\) ، \(-\left(-4\right)=4\)
العدد \(\dfrac{3}{2}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-11 \;;\; -9 \;;\; 0 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4\right\}\)
2 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\left\{0\right\}\)
الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.
3 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{7 \;;\; -9 \;;\; -4 \;;\; \sqrt{25} \;;\; 0\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-9\) يساوي \(-9\) وهو لا يحقّق \(x \geq 0\) ، إذن \(\left\{7 \;;\; -9 \;;\; -4 \;;\; \sqrt{25} \;;\; 0\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).
4 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-1\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-1\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(OA = \left|-1\right| = 1\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
5 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 2 فوق الطابق الأرضي.
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+2\) أي \(2\).
6 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = -6\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : القيمة المطلقة موجبة دائماً، فلا يمكن أن تكون تساوي \(-6\) وهو عدد سالب، إذن المجموعة فارغة : \(\emptyset\).
7 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{+*} \cup \mathbb{N} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x > 0\) أو \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x > 0\) أو \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+*} \cup \mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\)
تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).
8 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\dfrac{406102}{8} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) هو : \(x \leq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(\dfrac{406102}{8}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً لأنّ \(\dfrac{406102}{8}=50762{,}75\) ، إذن \(\dfrac{406102}{8} \notin \mathbb{Z}^{-}\).
9 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(-2\) ، يصعد 5 طوابق ثمّ يصعد 6 طوابق ثمّ ينزل 8 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-2\right)+5+6-8\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(\left(-2\right)+5+6-8=1\) أي في الطابق 1 فوق الأرضي.
10 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{Z}^{+}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
11 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|24 - \left(-5\right)\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|24 - \left(-5\right)\right| = \left|29\right| = 29\)
12 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :لا يوجد مقابلها في القائمة.
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(57\) و \(-57\) ، \(35\) و \(-35\) ، \(17\) و \(-17\).
\(\left\{-45 \;;\; 29\right\}\)
13 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(3\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل .
📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = -\left(3\right) = -3\)
14 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :لا يوجد مقابلها في القائمة.
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(45\) و \(-45\) ، \(10\) و \(-10\).
\(\left\{-58 \;;\; 25\right\}\)
15 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
16 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-1\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-1\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(OA = \left|-1\right| = 1\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
17 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(4\) ، يصعد طابقين ثمّ ينزل 6 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(4+2-6+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(4+2-6+3=3\) أي في الطابق 3 فوق الأرضي.
18 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{1 \;;\; -12 \;;\; 0 \;;\; -11 \;;\; -9\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-12\) يساوي \(-12\) وهو لا يحقّق \(x \geq 0\) ، إذن \(\left\{1 \;;\; -12 \;;\; 0 \;;\; -11 \;;\; -9\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).
19 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(46 \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}\) هو : \(x\) عدد صحيح نسبي. تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(46\) يحقّق الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(46 \in \mathbb{Z}\).
20 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^{-*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{+}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x\) عدد صحيح نسبي أو \(x < 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x\) عدد صحيح نسبي أو \(x < 0\).
\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^{-*} = \mathbb{Z}\)