1 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = 11\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{N}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(11\) هما \(11\) و \(-11\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{N}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{11\right\}\)
2 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(1\) ، ينزل 6 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق ثمّ ينزل طابقين.
-5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(1-6+3-2\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(1-6+3-2=-4\) أي في الطابق 4 تحت الأرضي.
3 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(49\) هو \(-49\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
4 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) \(M\) نقطة من المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) حيث \(IM = 5\).
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك نقطتان تبعدان عن نقطة معلومة بنفس المسافة : واحدة يميناً وأخرى يساراً.
📝 الطريقة : نضيف \(5\) إلى فاصلة \(I\) ثمّ نطرحها منها.
✅ الحلّ الكامل : \(x_M = 1 + 5 = 6 \quad\text{أو}\quad x_M = 1 - 5 = -4\)
إذن للمسألة
حلّان .
5 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{+}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
6 — المصعد — ترقيم الطوابق يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(5\).
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).
📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق \(5\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(5\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.
7 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{13 \;;\; 0 \;;\; -1 \;;\; -5 \;;\; -9\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-1\) يساوي \(-1\) وهو لا يحقّق \(x \geq 0\) ، إذن \(\left\{13 \;;\; 0 \;;\; -1 \;;\; -5 \;;\; -9\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).
8 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(-1 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(-1\) يحقّق الشرط \(x \neq 0\) ، إذن \(-1 \in \mathbb{Z}^{*}\).
9 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(3\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x العدد الأوّل العدد الثاني تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.
📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 3\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(3\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|3\right| = 3 \quad\text{و}\quad \left|-3\right| = 3\)
إذن العددان هما \(3\) و \(-3\) ، وهما متقابلان.
10 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}^{-*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(1 \in \mathbb{Z}^{+*}\) و \(1 \notin \mathbb{Z}^{-*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+*} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).
11 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{-} \cup \mathbb{Z}^{+*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \leq 0\) أو \(x > 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \leq 0\) أو \(x > 0\).
\(\mathbb{Z}^{-} \cup \mathbb{Z}^{+*} = \mathbb{Z}\)
12 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\dfrac{-9}{3}=-3\)
العدد \(\dfrac{3}{7}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\)
و في \(B\) في آن واحد.
\(\left\{-1\right\}\)
13 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|-48 - 11\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|-48 - 11\right| = \left|-59\right| = 59\)
14 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{\dfrac{-9}{3} \;;\; -8 \;;\; -\left|-7\right|\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x < 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عناصر المجموعة تحقّق الشرط \(x < 0\) ، إذن \(\left\{\dfrac{-9}{3} \;;\; -8 \;;\; -\left|-7\right|\right\} \subset \mathbb{Z}^{-*}\).
15 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -1\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : القيمة المطلقة موجبة دائماً، فلا يمكن أن تكون تساوي \(-1\) وهو عدد سالب، إذن المجموعة فارغة : \(\emptyset\).
16 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+*} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}\).
17 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-44\) هو \(44\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
18 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\emptyset\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{-}\) حيث \(x \leq 0\).
\(\left\{0\right\}\)
الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.
19 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left(-2\right)=2\)
العدد \(\dfrac{3}{2}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{2 \;;\; 13\right\}\)
20 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|\left|-27\right| - \left(-20\right)\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|\left|-27\right| - \left(-20\right)\right| = \left|27 - \left(-20\right)\right| = \left|47\right| = 47\)