الأعداد الصحيحة النسبية — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

1 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).

\(\mathbb{Z}^{+}\)

2 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(-23 \;;\; -56 \;;\; 18 \;;\; -26 \;;\; 26 \;;\; -35 \;;\; -18\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(18\) و \(-18\) ، \(26\) و \(-26\).

\(\left\{-56 \;;\; -35 \;;\; -23\right\}\)

3 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(-\left|-7\right| \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) هو : \(x \leq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(-\left|-7\right|=-7\).
العدد \(-7\) يحقّق الشرط \(x \leq 0\) ، إذن \(-\left|-7\right| \in \mathbb{Z}^{-}\).

4 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{\left|-5\right| \;;\; \dfrac{3}{2} \;;\; \dfrac{36}{4} \;;\; 13 \;;\; -\left|-7\right|\right\} \;\cdots\; \mathbb{N}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{3}{2}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{\left|-5\right| \;;\; \dfrac{3}{2} \;;\; \dfrac{36}{4} \;;\; 13 \;;\; -\left|-7\right|\right\} \not\subset \mathbb{N}\).

5 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(2\) ، ينزل طابقين ثمّ يصعد طابقين ثمّ يصعد 6 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(2-2+2+6\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(2-2+2+6=8\) أي في الطابق 8 فوق الأرضي.

6 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{-*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
\(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}^{-*}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-*} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).

7 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|18\right| + \left|1\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|18\right| + \left|1\right| = 18+1 = 19\)

8 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{-} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \leq 0\).

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x \leq 0\).

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{-} = \mathbb{Z}^{-}\)

9 — المصعد — ترقيم الطوابق

يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(-1\).
كم عدد الطوابق التي تفصله عن الطابق الأرضي (نزولاً)؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).

📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطابق \(-1\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(1\) طابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.

10 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| < \sqrt{16}\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).

✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\sqrt{16} = 4\).
نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(4\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).

\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3\right\}\)

11 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-1\).
ما هي فاصلة النقطة \(A'\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) ؟

💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل.

📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).

✅ الحلّ الكامل :

\(x_{A'} = -\left(-1\right) = 1\)

12 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{-\left|-7\right| \;;\; 9 \;;\; 0 \;;\; 4\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cap \mathbb{Z}^{-*} = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x < 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left|-7\right|=-7\)
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x < 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).

\(\left\{-7\right\}\)

13 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-6\).
ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.

📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-6\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(OA = \left|-6\right| = 6\)

المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.

14 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(-3\) ، يصعد 5 طوابق ثمّ يصعد 6 طوابق ثمّ ينزل 3 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-3\right)+5+6-3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(\left(-3\right)+5+6-3=5\) أي في الطابق 5 فوق الأرضي.

15 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{+}\)

16 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(-48 \;;\; -17 \;;\; 14 \;;\; 48 \;;\; -44 \;;\; -20 \;;\; 10 \;;\; -10 \;;\; 20 \;;\; 17\)
كم زوجاً من الأعداد المتقابلة توجد في هذه القائمة؟

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(48 \;;\; -48\right)\) ، \(\left(10 \;;\; -10\right)\) ، \(\left(20 \;;\; -20\right)\) ، \(\left(17 \;;\; -17\right)\) ، أي \(4\) أزواج.

17 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 11\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).

✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(11\) هما \(11\) و \(-11\).

\(\left\{-11 \;;\; 11\right\}\)

18 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{N} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.
\(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^{-*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(1 \in \mathbb{N}\) و \(1 \notin \mathbb{Z}^{-*}\) ، إذن \(\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).

19 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(3\).
ما هي المسافة بين \(A\) والمبدأ \(O\)؟

💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.

📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|3\right|\).

✅ الحلّ الكامل :

\(OA = \left|3\right| = 3\)

المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.

20 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{0 \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; 4{,}5\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \neq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(0\) يساوي \(0\) وهو لا يحقّق \(x \neq 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; 4{,}5\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

🎉 أحسنت!